Równanie różniczkowe Bernulliego

[piksi111-97]

Dzień dobry,
Od kilku godzin głowię się nad rozwiązaniem następującego równania:

\(\displaystyle{ 3x^2y'-y^3=x+1}\)

W zbiorze zadań ten przykład znajduje się pod tematem wyznaczania rozwiazań ogólnych równań Bernulliego, lecz trochę nie pasuje mi to równanie ze względu na brak wolnej funkcji \(\displaystyle{ y(x)}\) w równaniu. Próbowałem wieloma metodami rozwiązać to równanie lecz nieskutecznie. Wolfram Alpha też nie pomógł.
Jeśli ktoś byłby mi w stanie pomóc z góry dziękuję!

[szw1710]

A może chodziło o równanie \(\displaystyle{ 3y^2y'-y^3=x+1}\)? Podstawiając nową funkcję niewiadomą \(\displaystyle{ u=y^3}\) łatwo dostaje się równanie liniowe. W książkach pełno błędów drukarskich. Rozwiąż równanie jakie ja proponuję i porównaj z odpowiedzią w książce.

[piksi111-97]

Muszę jutro zapytać się mojego wykładowcy czy się nie pomylił. Dzięki za wskazówkę. Jeszcze się jutro odezwę gdyby jednak chodziło o coś innego.

-- 30 lis 2017, o 01:58 --

Mam jeszcze jedno pytanie co do wyznaczenia obszaru \(\displaystyle{ \Omega}\) w którym następujące równanie \(\displaystyle{ y' = 1 + tan(y)}\) będzie miało jedno rozwiązanie. Jak wgl. zabrać się za rozwiązanie tego zadania? Niestety w internecie nie znalazłem żadnych wskazówek i nie przypominam sobie tego tematu aby był na wykładzie z równań różniczkowych :/ Z góry dzięki!-- 30 lis 2017, o 15:51 --Dziękuję szw1710 za pomoc. Miał Pan rację - wystąpił błąd przy przepisywaniu zadania.
Pozdrawiam

[szw1710]

Mam jeszcze jedno pytanie co do wyznaczenia obszaru \Omega w którym następujące równanie y' = 1 + tan(y) będzie miało jedno rozwiązanie. Jak wgl. zabrać się za rozwiązanie tego zadania? Niestety w internecie nie znalazłem żadnych wskazówek i nie przypominam sobie tego tematu aby był na wykładzie z równań różniczkowych :/ Z góry dzięki!

To jest równanie o zmiennych rozdzielonych. Dla niego mamy pewien wniosek z ogólnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu początkowego. Zobacz np. w książce Krysickiego (II tom).