Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \left( xy^{2} + y \right) \mbox{d}x + \left( 2y-x\right) \mbox{d}y=0}\)

Może ma kto jaki pomysł?

Jest to równanie różniczkowe zupełne, którego lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji \(\displaystyle{ U(x,y).}\)

\(\displaystyle{ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial M(x,y)}{ \partial x}= \frac{\partial N(x,y)}{\partial y} = y^2.}\)

I sposób

Otwórz nawiasy, pogrupuj wyrazy tak, aby każda grupa przedstawiała różniczkę zupełną.
Zastąp różniczkę sumy przez sumę różniczek.

II sposób

Skonstruuj całkę ogólną.

Mamy:

\(\displaystyle{ P=xy^2+y}\) ; \(\displaystyle{ Q = 2y-x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y }=2xy+1}\) ; \(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-1}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_y-Q_x}{P}= \frac{2}{y}}\) nie zależy od x
Czynnik całkujący:
\(\displaystyle{ \left( y \right) =e^{ \int \frac{-2}{y}{dy}}= \frac{1}{y^2}}\)

Po wymnożeniu dostajesz równanie zupełne:
\(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{y} \right) \mbox{d}x + \left( \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) { \mbox{d}y =0}\)

Bez minusa:

• \(\displaystyle{ \frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2}{y}}\)

SlotaWoj pisze:Bez minusa:

• \(\displaystyle{ \frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2}{y}}\)

Racja. Dziękuję.-- 29 lis 2017, o 14:33 --

janusz47 pisze:Jest to równanie różniczkowe zupełne, którego lewa strona jest różniczką zupełną pewnej funkcji \(\displaystyle{ U(x,y).}\)

To nie jest równanie zupełne.

\(\displaystyle{ \left( xy^{2} + y \right) \mbox{d}x + \left( 2y-x\right) \mbox{d}y=0\\
\left( xy^{2} + y \right) +\left( 2y-x\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\left( x-2y\right) =\left( xy^{2} + y \right)\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\frac{xy^{2} + y}{x-2y}\\
y=ux\\
y'=u'x+u\\
u'x+u=\frac{u^2x^3+ux}{x-2ux}\\
u'x=\frac{u^2x^2+u}{1-2u}-u\\
u'x=\frac{u^2x^2+u-u+2u^2}{1-2u}\\
u'x=\frac{u^2x^2+2u^2}{1-2u}\\
u'x=\frac{\left( x^2+2\right)u^2 }{1-2u}\\
\frac{1-2u}{u^2}u'=\frac{x^2+2}{x}\\
\frac{1-2u}{u^2} \mbox{d}u=\frac{x^2+2}{x} \mbox{d}x \\
-\frac{1}{u}-2\ln{\left| u\right| }=\frac{x^2}{2}+2\ln{\left| x\right| }-\frac{C}{2}\\
-\frac{2}{u}-4\ln{\left| u\right| }=x^2+4\ln{\left| x\right| }-C\\
-\frac{2x}{ux}-4\ln{\left| ux\right| }-x^2=-C\\
\frac{2x}{y}+4\ln{\left| y\right| }+x^2=C\\}\)

Podstawienie dla równania jednorodnego powinno tutaj działać

Metoda funkcji całkującej formy różniczkowej

Rozpatrujemy jednoformę różniczkową (różniczkę funkcji):

\(\displaystyle{ d \omega(x,y) = (xy^2 +y) dx + (2y -x)dy}\) (0)

Aby Forma (0) była formą dokładną, potrzeba i wystarcza, aby zachodziła równość:

\(\displaystyle{ [(xy^2 +y)\cdot i(x,y)]_{|y} = [(2y - x)\cdot i(x,y)]_{|x},}\)

dla pewnej rzeczywistej funkcji \(\displaystyle{ i(x,y), \ \ x, y \in R \setminus \{(0,0)\}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ (2xy +1)\cdot i(x,y) + (xy^2 +y)\cdot i(x,y)_{|y} = -i(x,y) + (2y - x)\cdot i(x,y)_{|x}.}\)

\(\displaystyle{ (2xy +2)\cdot i(x,y) +(xy^2 +y)\cdot i(x,y)_{|y} = (2y - x)\cdot i(x,y)_{|x}}\) (1)

Z (1) oraz warunku koniecznego i wystarczającego istnienia funkcji \(\displaystyle{ i}\) wynika, że

\(\displaystyle{ 2y - x = 0, \ \ x =2y}\) (2)

Kładąc (2) do (1)

\(\displaystyle{ (4y^2 +2)\cdot i(x,y) +(2y^3 +y) \cdot i(x,y)_{|y} = 0.}\)

\(\displaystyle{ \frac{i(x,y)_{|y}}{i(x,y)} = - \frac{4y^2 +2}{2y^3 +y}= - \frac{2(2y^2+1)}{y(2y^2+1)}= \frac{-2}{y}.}\)

Otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielających się, którego rozwiązaniem jest funkcja:

\(\displaystyle{ i(x,y) =\overline{i}(y) = \frac{A}{y^2}.}\)

Stałą \(\displaystyle{ A}\) położymy równą \(\displaystyle{ 1}\), gdyż nie szukamy najbardziej ogólnej postaci funkcji \(\displaystyle{ i}\). Wystarczy nam wskazać jedną konkretną jej postać.

Po pomnożeniu formy (0) przez czynnik \(\displaystyle{ \frac{1}{y^2}}\) otrzymujemy jednoformę dokładną

\(\displaystyle{ d\omega^{*}(x,y) = \left( x + \frac{1}{y}\right)dx + \left(\frac{2}{y} - \frac{x}{y^2}\right)}\) (3)

\(\displaystyle{ \overline{M}(x,y)_{|y} = -\frac{1}{y^2} = \overline{N}(x,y)_{|x}.}\)

Znajdujemy pierwotną formy (3)

\(\displaystyle{ \omega^{*}(x,y) = \int \left(x+\frac{1}{y}\right)dx = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+ \phi(y).}\)

\(\displaystyle{ \omega^{*}_{|y}(x.y) = -\frac{x}{y^2}+ \phi'(y)= \frac{2}{y}-\frac{x}{y^2}}\)

\(\displaystyle{ \phi'(y) = \frac{2}{y}}\)

\(\displaystyle{ \phi(y) = 2\ln(y) + C}\)

\(\displaystyle{ \omega^{*}(x, y) = \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y} + 2\ln(y) + C.}\)

Rozwiązanie równania ma więc postać uwiklaną:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y} + 2\ln(y) = const.}\)