Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną danego równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ y=x \cdot \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt, \quad xy'=y+x \cdot \sin x}\)
Różniczkując funkcję dostaję: \(\displaystyle{ y'=\sin x+ \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt}\)
Po wstawieniu do równania mam: \(\displaystyle{ y=x+x \cdot \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt}\)
Wiem ze ta całka jest całką nieelementarną i nie mogę jej obliczyć, chyba ze metodami numerycznymi.
Czy w takim razie jest błąd w zadaniu?
Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk, Polska
- Podziękował: 7 razy
Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 20:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz
Coś źle przekształcasz.
\(\displaystyle{ xy'=y+x \cdot \sin x}\)
Podstawiając wszędzie \(\displaystyle{ y=x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\dd t}\) mamy:
\(\displaystyle{ x\left( \int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\,\dd t+\sin x \right) =x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\dd t+x \cdot \sin x}\)
i po rozwinięciu lewej strony (zwykła rozdzielność mnożenia) i skróceniu masz tożsamość \(\displaystyle{ 0=0}\), czyli się zgadza.
Wystarczy skorzystać ze wzoru na pochodną iloczynu i z tw. o całce oznaczonej jako funkcji górnej granicy całkowania.
\(\displaystyle{ xy'=y+x \cdot \sin x}\)
Podstawiając wszędzie \(\displaystyle{ y=x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\dd t}\) mamy:
\(\displaystyle{ x\left( \int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\,\dd t+\sin x \right) =x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\,\dd t+x \cdot \sin x}\)
i po rozwinięciu lewej strony (zwykła rozdzielność mnożenia) i skróceniu masz tożsamość \(\displaystyle{ 0=0}\), czyli się zgadza.
Wystarczy skorzystać ze wzoru na pochodną iloczynu i z tw. o całce oznaczonej jako funkcji górnej granicy całkowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 17 lis 2016, o 11:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk, Polska
- Podziękował: 7 razy
Wykaz ze dana funkcja jest całką szczególną równania różnicz
A tak podstawiłam tylko pod \(\displaystyle{ y'}\), zapominając o \(\displaystyle{ y}\), dzięki!
Ostatnio zmieniony 15 lis 2017, o 20:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.