Matematyka.pl

Zbadaj bifurkacje równowagi dla układu \(\displaystyle{ x'=f_u(x)}\), gdy \(\displaystyle{ u}\) zmienia się w pobliżu \(\displaystyle{ u=0}\):
\(\displaystyle{ \\a)\ f_u(x)=u-x^2 \\
b)\ f_u(x)=ux-x^2\\
c)\ f_u(x)=u^2x-x^3\\
d)\ f_u(x)=u^2x+x^3\\
e)\ f_u(x)=u^2ax+2ux^3-x^5\\}\),
dla zmieniającego się \(\displaystyle{ a}\).

Potrzebuję pomocy, gdyż w ogóle nie wiem o co chodzi, jak się do tego zabrać. Prosiłabym o wyjaśnienie chociaż na jednym przykładzie.

Bifurkacją dla równania autonomicznego:

\(\displaystyle{ x' = f_{u}(x,u)}\)

nazywamy każdą jakościową zmianę portretu fazowego przy przejściu parametru \(\displaystyle{ u}\) przez pewien punkt \(\displaystyle{ u_{0}}\) (punkt bifurkacji).

a)

\(\displaystyle{ x' = u - x^2}\) (1)

Równanie to nie ma punktów osobliwych dla \(\displaystyle{ u<0}\), ma jeden punkt osobliwy dla \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) dla \(\displaystyle{ u = 0,}\) a dla \(\displaystyle{ u > 0}\) ma dwa punkty osobliwe \(\displaystyle{ x_{01}= -\sqrt{u}, \ \ x_{02} = \sqrt{u}.}\)

W ostatnim przypadku po zlinearyzowaniu otrzymujemy układ:

\(\displaystyle{ x' = -2x_{0}(x - x_{0}),}\)

czyli punkt \(\displaystyle{ x_{02}= \sqrt{u}}\) jest punktem osobliwym - stabilnym, a punkt \(\displaystyle{ x_{01}= -\sqrt{u}}\) punktem osobliwym - niestabilnym.

Wynika stąd, że punkt \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\) jest punktem bifurkacji dla równania (1).

Proszę narysować charakter tej bifurkacji.

Rys. 1

W układzie prostokątnym \(\displaystyle{ u \times x_{0}}\) parabola zwrócona ramionami w kierunku dodatnim osi \(\displaystyle{ u.}\)
Dolna jej gałąź - położenie punktów osobliwych- niestabilnych , górna - położenie punktów osobliwych - stabilnych.

Rys.2

Ta sama parabola -jej obie gałęzie stanowią położenie punktów osobliwych stabilnych, oś \(\displaystyle{ Ou, (x_{0}=0)}\) - położenie punktów osobliwych - niestabilnych.

Czy mogłabym prosić jeszcze o wyjaśnienie, jak dokładnie przeprowadzić linearyzację? coś z pochodną?

Z góry dziękuję za pomoc!

Załóżmy, że dany jest układ autonomiczny:

\(\displaystyle{ x' = f(x)}\) (1)

i niech punkt \(\displaystyle{ x_{0}=0}\) będzie punktem krytycznym, albo istnieje taki punkt \(\displaystyle{ x_{0}\neq 0}\), że \(\displaystyle{ f(x_{0}) =0.}\)

Linearyzacją układu (1) w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ x_{0}}\) nazywamy układ liniowy:

\(\displaystyle{ x' = a\cdot x + g(x)}\) ,

gdzie

\(\displaystyle{ g(x)}\) jest funkcją liniową, spełniającą warunek:

\(\displaystyle{ \lim_{|x|\to 0} \frac{|g(x)|}{|x|} =0.}\)


W Pani przykładzie jest to równanie prostej o współczynniku kierunkowym równym pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}, \ \ a = -2x_{0}}\) i przechodzącej przez ten punkt.