r.r. Bernoulliego

[macik1423]

Jak rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ y'+xy=\frac{1}{x}\cdot y^{3}}\)?
Podjąłem oczywiście próbę ale na końcu przy uzmiennianiu stałej wychodzi całka do policzenia:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{-2}{x\cdot e^{x^{2}}} \mbox{d}x}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\frac{2}{x}e^{-x^2} \mbox{d}x }\\
=\int{\frac{-2x}{-x^2}e^{-x^2} \mbox{d}x }\\
t=-x^2\\
\mbox{d}t=-2x \mbox{d}x \\
\int{ \frac{e^{t}}{t} \mbox{d}t}\\
=\mathrm{Ei}\left( -x^2\right)+C\\}\)

[janusz47]

Po uzmiennieniu stałej wychodzi całka

\(\displaystyle{ C(x) = \int \frac{-2}{x}e^{-x^2}dx,}\)

która nie da się wyrazić przez funkcje elementarne.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y'+xy=\frac{1}{x}\cdot y^{3}\\
y'+xy-\frac{1}{x}\cdot y^{3}=0\\
\left(xy-\frac{1}{x}\cdot y^{3} \right) \mbox{d}x + \mbox{d}y=0\\}\)

Ponieważ jest to równanie Bernoulliego więc czynnik całkujący jest postaci
\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)= \exp{\left( \left( 1-r\right) \int{p\left( x\right) \mbox{d}x } \right) }y^{-r}}\)

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=e^{-x^2}y^{-3}\\
\left( \frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right)e^{-x^2} \mbox{d}x +e^{-x^2}y^{-3} \mbox{d}y=0\\
P\left( x,y\right)=\left( \frac{x}{y^2}-\frac{1}{x}\right)e^{-x^2}\\
Q\left( x,y\right)= e^{-x^2}y^{-3}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-\frac{2x}{y^3}e^{-x^2}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\frac{2x}{y^3}e^{-x^2}\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=P\left( x,y\right) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}=Q\left( x,y\right) \\

F\left( x,y\right)=-\frac{1}{2}\frac{e^{-x^2}}{y^2}+g\left( x\right)\\
\frac{x}{y^2}e^{-x^2}+ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }g\left( x\right)=\frac{x}{y^2}e^{-x^2}-\frac{1}{x}e^{-x^2} \\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }g\left( x\right)=-\frac{1}{x}e^{-x^2}\\}\)

więc ma do policzenia całkę

\(\displaystyle{ -\int{\frac{1}{x}e^{-x^2} \mbox{d}x }}\)

janusz47, jak ty liczysz wg mnie z uzmienniania stałej właśnie taka całka
powinna wyjść taka jaką uzyskał

[kerajs]

\(\displaystyle{ \int{ \frac{e^{t}}{t} \mbox{d}t}=}\)

\(\displaystyle{ ...=\int{ \frac{1+t+ \frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+.... }{t} \mbox{d}t}
=\int \left( \frac{1}{t} +1+ \frac{t}{2!}+\frac{t^2}{3!}+... \right) \mbox{d}t=\\
=\ln \left| t\right| +t+ \frac{t^2}{2!2}+\frac{t^3}{3!3}+....+K=\ln \left| t\right| + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{t^n}{n! \cdot n}+K}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ y' +xy = \frac{1}{x}y^3.}\)

\(\displaystyle{ n = 3.}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)

\(\displaystyle{ y\neq 0.}\)

\(\displaystyle{ \frac{y'}{y^3}+ \frac{x}{y^2}= \frac{1}{x^2}}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{y^2}= z.}\)

\(\displaystyle{ \frac{-2}{y^{3}}y' = z'.}\)

\(\displaystyle{ -\frac{z'}{2}+xz = \frac{1}{x}.}\)

\(\displaystyle{ z' -2xz = \frac{-2}{x}.}\)

\(\displaystyle{ z' = 2xz,}\)

\(\displaystyle{ \frac{z'}{z} = 2x.}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{z'}{z}dz = \int 2xdx.}\)

\(\displaystyle{ z = \pm Ce^{x^2}.}\)

\(\displaystyle{ z_{s} = C(x)e^{x^2}.}\)

\(\displaystyle{ z'_{s} = C'(x)e^{x^2}+ 2xC(x)e^{x^2}.}\)

\(\displaystyle{ C'(x)e^{x^2}+2xC(x)e^{x^2} - 2xC(x)e^{x^2} = -\frac{2}{x}.}\)

\(\displaystyle{ C'(x) = -\frac{2}{x}e^{-2x}.}\)

\(\displaystyle{ C(x) = -\int \frac{2}{x}e^{-2x}dx}\)

mariuszm masz rację.