Czy równanie jest liniowe czy nieliniowe?

[naznaczony]

Cześć wszystkim, mam troszkę nietypowy problem.
Problem się tyczy określenia tego czy równanie różniczkowe jest liniowe czy nie jest. Dlaczego to wywołuje u mnie wątpliwości? Otóż na każdym wykładzie pan profesor tłumaczył, że równanie w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{d(x(t))}{dx}+t^{2} \cdot x(t)=0}\)
jest równaniem nieliniowym ze względu na występujące \(\displaystyle{ t^{2}}\). Natomiast wolframalpha oraz ta stronka: ... eq-en.html
mówią o tym, że jest to równanie liniowe.

Naprawdę jestem troszkę w potrzasku bo nie wiem jak to w końcu jest. Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić jak to jest z tym równaniem? Bo ile rozumiem, że wprowadzenie dowolnej stałej do równania nie zmieni jego liniowości to czy dodanie tego \(\displaystyle{ t^{2}}\) lub nawet samego \(\displaystyle{ t}\)?

Czy to chodzi o to jak traktujemy to nasze \(\displaystyle{ t}\)?


ps. nie jestem matematykiem

[NogaWeza]

Ogólna postać równania różniczkowego liniowego:
\(\displaystyle{ a_0 (t) y(t) + a_1 (t) y'(t) + a_2 (t) y'' (t) + ... + a_n (t) y^{(n)} (t) = f(t)}\)

Można się spotkać z nieco inną wersją, tj. taką, w której wspólczynnik \(\displaystyle{ a_n (t)}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Można sobie to co napisałem obustronnie podzielić właśnie przez \(\displaystyle{ a_n (t)}\) oraz przedefiniować pozostałe współczynniki i prawą stronę, żeby dostać tą inną, choć w rzeczywistości równoważną, postać. To bez znaczenia.

Równanie różniczkowe stacjonarne to takie, w którym współczynniki nie zależą od \(\displaystyle{ t}\) - czyli są stałe. Twoje równanie jest liniowe, ale nie jest stacjonarne (czyli nie ma stałych współczynników, bo pojawia się \(\displaystyle{ t^2}\) jako współczynnik).

Co do za przedmiot i kto go prowadzi? Pytam, bo u mnie na studiach często się mówiło się o równaniach liniowych (w kontekście inżynierskim) mając na myśli równania liniowe stacjonarne. Po prostu równań liniowych o stałych współczynnikach używa się bardzo często, a nikomu nie chce się chyba całej tej nazwy wymawiać, więc mówi się po prostu "równania liniowe".

[naznaczony]

Przedmiot nazywa się modelowanie matematyczne, a prowadzi go starszy profesor z naprawdę ogromną wiedzą, lecz troszkę słabszą umiejętnością przekazywania tej wiedzy.

U nas nie była w ogóle poruszana kwestia stacjonarności równania, dlatego jestem jeszcze bardziej zaskoczony.
Ja rozumiem to, że wprowadzenie wartości, które są zależne od czasu prowadzi do nieliniowości w tym równaniu np.
\(\displaystyle{ \frac{d(x(t))}{dx}\cdot x(t)+t^{2} \cdot x(t)=0}\)
Rozumiem też, że równanie jest liniowe jeżeli spełnia zasadę superpozycji. ale nie wiedząc czy te moje t, jest zależne od czasu jak mam to określić

Czy wtedy mam przyjąć założenie takie, o którym mówisz, że niestacjonarne=nieliniowe?

[NogaWeza]

To równanie, które zapisałeś jest nieliniowe.

Myślę, że w kontekście tego przedmiotu możesz przyjmować, że równanie liniowe to to samo co równanie liniowe o stałych współczynnikach.

Rozumiem też, że równanie jest liniowe jeżeli spełnia zasadę superpozycji [...]

Zachowałbym ostrożność przy wysuwaniu takich wniosków. Wydaje mi się, że jeśli jest liniowe, to spełnia zasadę superpozycji. Nie pomogę Ci z tym, bo w formalne aspekty równań różniczkowych się nie zagłębiałem.

Z własnego żałośnie małego doświadczenia powiem Ci tak: analizując układy fizyczne zawsze będziesz miał do czynienia z równaniami postaci \(\displaystyle{ a_n y^{(n)} (t)+ ... + a_1 y(t) + a_0 y(t) = f(t)}\). Jakieś wahadła, bryły sztywne, układy RLC w elektronice i elektrotechnice i wiele, wiele innych - to wszystko jest opisywane przez równania liniowe o stałych współczynnikach. W praktyce tylko te warto umieć sprawnie rozwiązywać. Inne równania występują rzadko i jesli są nieliniowe (na przykład opór powietrza zależy od kwadratu prędkości - czyli kwadratu pochodnej położenia po czasie), to się je linearyzuje albo nawet nie myśli się nad tym, tylko rozwiązuje się je numerycznie.

Z równaniami nieliniowymi oczywiście też mamy często do czynienia, ale tak jak mówiłem, metody numeryczne albo linearyzacja załatwiają wszystko. Osobiście nigdy nie spotkałem się z równaniem liniowym, które nie miałoby stałych współczynników. Oczywiście systemy opisywane przez takie równania istnieją (druga zasada dynamiki - pochodna pędu po czasie to przyspieszenie, jeśli masa jest zmienna w czasie to powstaje właśnie takie równanie), ale moim zdaniem nie musisz umieć poprawnie rozpoznawać typu każdego napotkanego równania różniczkowego. Nazewnictwo ma marginalne znaczenie. Ważne jest, aby wyrobić sobie intuicję i umieć poprawnie używać równań różniczkowych.

[tpmg48]

Po pierwsze w równaniach tych jest błąd : zamiast \(\displaystyle{ \frac{d(x(t))}{dx}}\) powinno być \(\displaystyle{ \frac{d(x(t))}{dt}}\). Po drugie równanie \(\displaystyle{ \frac{d(x(t))}{dt}\cdot x(t)+t^{2} \cdot x(t)=0}\) jest równaniem nieliniowym ze względu na zmienną zależną \(\displaystyle{ x(t)}\) i jednocześnie jest nieliniowym ze względu na zmienną niezależną \(\displaystyle{ t}\).
Z kolei równanie \(\displaystyle{ \frac{d(x(t))}{dt}+t^{2} \cdot x(t)=0}\) jest równaniem liniowym ze względu na zmienną zależną \(\displaystyle{ x(t)}\) i jednocześnie jest nieliniowym ze względu na zmienną niezależną \(\displaystyle{ t.}\)

Natomiast, ogólnie pojęcia (nie)/liniowości równania lub funkcji określa się względem zmiennej zależnej (tj. niewiadomej, tutaj \(\displaystyle{ x(t)}\)), czyli odpowiedź w tym kontekście jest taka, że pierwsze równanie jest nieliniowe a drugie liniowe (dla pełnej ścisłości można dodać względem \(\displaystyle{ x(t)}\) - aczkolwiek w domyśle o to się zazwyczaj pyta).