równanie różniczkowe cząstkowe

[Karolina93]

Hej Mam za zadanie rozwiązać równanie cząstkowe \(\displaystyle{ x^{2}u_{xx}+2xyu_{xy}+y^{2}u_{yy}=6y^{3}}\)

stosując podstawienie:
\(\displaystyle{ egin{cases} xi=xi(x,y)=y \ eta=eta(x,y)= frac{y}{x} end{cases}}\)

Więc funkcja jest postaci \(\displaystyle{ u(x,y)=v(xi,eta)}\)

Liczę pochodne zgodnie ze schematem Janusz Tracz z tematu 415481.htm

\(\displaystyle{ u_{x}=frac{ partial u }{ partial x}= frac{ partial v }{ partial xi}frac{ partial xi }{ partial x}+frac{ partial v }{ partial eta}frac{ partial eta }{ partial x}=frac{ partial v }{ partial xi} cdot 0+frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)=frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)}\)

\(\displaystyle{ u_{xx}=frac{ partial }{ partial x}left( frac{ partial u }{ partial x}
ight)= frac{partial}{partial x}left( frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)
ight)=frac{ partial }{ partial xi}left( frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)
ight)frac{ partial xi }{ partial x}+frac{ partial }{ partial eta}left( frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)
ight)frac{ partial eta}{ partial x}=frac{ partial }{ partial xi}left( frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)
ight) cdot 0+frac{ partial }{ partial eta}left( frac{ partial v }{ partial eta} cdot left( - frac{y}{x^{2}}
ight)
ight) frac{-y}{x^{2}}=frac{-y}{x^{2}}frac{ partial }{ partial eta}left( frac{ partial v }{ partial eta} cdot left(-frac{y}{x^{2}}
ight)
ight)}\)

Czy do tego momentu jest dobrze ? Jeśli tak to jak dalej to rozwiązać ? Proszę o pomoc

[Elvis]

Nie mam serca do obliczeń, ale podstawienie wygląda na sensowne - powinno zredukować problem do równania zwyczajnego ze względu na \(\displaystyle{ \xi}\).

Dlaczego zaproponowałaś akurat takie podstawienie? Bo jeśli zauważyłaś w napisie \(\displaystyle{ x^{2}u_{xx}+2xyu_{xy}+y^{2}u_{yy}}\) drugą pochodną w kierunku \(\displaystyle{ (x,y)}\), to można też inaczej to dokończyć. Dla ustalonego punktu \(\displaystyle{ (x,y) \in S^1}\) określmy funkcję \(\displaystyle{ g(\lambda x, \lambda y)}\) na półprostej dodatniej. Równanie na \(\displaystyle{ u}\) daje równanie zwyczajne na \(\displaystyle{ g}\), które łatwo rozwiązać.

[Karolina93]

W przykładzie jest podane jakie podstawienie należy zastosować. I tam jest obliczone, że
\(\displaystyle{ u_{xx}= - \frac{y}{x^{2}} \left( -\frac{y}{x^{2}}v_{\eta \eta} \right)+ \frac{2y}{x^{3}}v_{\eta}}\)

I właśnie tu jest moje pytanie jak dojść do tego wyniku z tego co napisałam w poprzednim poście. Pomoże ktoś ?