Odwrotna transformata Laplace'a

[mlp99]

Witam,

Muszę wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace'a metodą rozkładu na ułamki proste.

\(\displaystyle{ F(s)= \frac{1}{\left( s ^{2}+4\right) ^{2} }}\)

Zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ F(s)= \frac{1}{(s-2j) ^{2}(s+2j) ^{2} } = \frac{A}{s-2j}+ \frac{B}{(s-2j) ^{2} } + \frac{C}{s+2j} + \frac{D}{(s+2j) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ A(s-2j)(s+2j) ^{2} +B(s+2j) ^{2} +C(s+2j)(s-2j) ^{2}+D(s-2j) ^{2}=1}\)

Czy do tego momentu zadanie rozwiązuję poprawnie? Bo żeby to teraz wyznaczyć do końca to obliczenia wychodzą tragicznie długie. Podobne przykłady mam dostać na kartkówce. Jednak to co napisałem nie jest do obliczenia w 10min. Chyba, że coś źle robię :/.

[NogaWeza]

No jest ok. Skoro każą Ci rozkładać na ułamki proste, to chyba niestety musisz to robić. Szybciej byłoby pewnie metodą residuów,
a już w ogóle najszybsze rozwiązanie daje skorzystanie z twierdzenia Borela o splocie.

[kerajs]

Inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(s^2+2^2)^2} = \frac{-1}{8} \cdot \frac{-8}{(s^2+2^2)^2}=\frac{-1}{8} \cdot \frac{(s^2-4)-(s^2+4)}{(s^2+2^2)^2}=\\= \frac{-1}{8} \cdot ( \frac{s^2-4}{(s^2+2^2)^2}- \frac{1}{s^2+2^2})=\frac{-1}{8} \cdot ( \frac{s^2-2^2}{(s^2+2^2)^2}- \frac{1}{2} \frac{2}{s^2+2^2})}\)
Oryginały obu ułamków są znane ( tablicowe).

\(\displaystyle{ A(s-2j)(s+2j) ^{2} +B(s+2j) ^{2} +C(s+2j)(s-2j) ^{2}+D(s-2j) ^{2}=1}\)
Czy do tego momentu zadanie rozwiązuję poprawnie? Bo żeby to teraz wyznaczyć do końca to obliczenia wychodzą tragicznie długie. Podobne przykłady mam dostać na kartkówce. Jednak to co napisałem nie jest do obliczenia w 10min. Chyba, że coś źle robię :/.

Na razie liczysz poprawnie. Pewnie wiesz, że wstawienie \(\displaystyle{ s=2j}\) oraz \(\displaystyle{ s=-2j}\) od razu da dwa szukane współczynniki. Kolejne dwa dostaniesz z układu równań dla dwóch różnych i jeszcze nie użytych \(\displaystyle{ s}\).
Należy mieć nadzieję ze na karkówce przykład będzie obliczeniowo szybszy.

[Mariusz M]

Jeżeli masz rozkładać na sumę ułamków prostych to tylko nad zespolonymi ma on jakiś sens
Nad rzeczywistymi to już jest ułamek prosty i w grę wchodzi twierdzenie Borela o splocie
albo przewidywanie postaci odwrotnego przekształcenia Laplace na podstawie różniczkowania obrazu
kerajs, no nie wiem czy to jest tablicowa

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{s^2+4} \right)'=\frac{0\left( s^2+4\right)-2\left( 2s\right) }{\left( s^2+4\right)^2 } \\
\left( \frac{2}{s^2+4} \right)'=-\frac{4s}{\left(s^2+4\right)^2}\\
\left( \frac{s}{s^2+4} \right)'=\frac{1 \cdot \left( s^2+4\right)-s \cdot 2s }{\left( s^2+4\right)^2 }\\
\left( \frac{s}{s^2+4} \right)'=-\frac{s^2-4}{\left( s^2+4\right)^2 }\\}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left{t\cos{2t}\right}=\frac{s^2-4}{\left( s^2+4\right)^2 }\\
\mathcal{L}\left{t\sin{2t}\right}=\frac{4s}{\left( s^2+4\right)^2}\\}\)

[kerajs]

kerajs, no nie wiem czy to jest tablicowa

Zaintrygowany zajrzałem do Krysickiego, Włodarskego (t.2 str. 380) i faktycznie nie ma transformaty z \(\displaystyle{ t\cos \omega t}\) (choć jest z \(\displaystyle{ t\sin \omega t}\)).
Drugie podejście: Tablice całek (taka mała książeczka Piłat, Wasilewski) już ją zawierała. Co więcej, jest też:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{a^2}{(s^2+a^2)^2} \right)= \frac{1}{2}(\sin at-at\cos at)}\)