Odwrotna transformacja Laplace'e
-
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 4 razy
Odwrotna transformacja Laplace'e
Witam,
mam problem by dokończyć odwrotne przekształcenie Laplace'a:
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ \frac{1}{s ^{2}(s-a)}\right] = \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{C}{s-a}}\)
\(\displaystyle{ As^{2} (s-a)+Bs(s-a)+Cs ^{3} = As ^{3}-As ^{2}a+Bs ^{2} -Bsa+Cs ^{3}=}\)
\(\displaystyle{ = s^{3} (A+C)+s ^{2}(B-Aa)-sBa}\)
I problem jest w tym, że nie mam wyrazu wolnego, więc nie mogę nic przyrównać do współczynnika licznika funkcji. Co w takiej sytuacji?
mam problem by dokończyć odwrotne przekształcenie Laplace'a:
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ \frac{1}{s ^{2}(s-a)}\right] = \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{C}{s-a}}\)
\(\displaystyle{ As^{2} (s-a)+Bs(s-a)+Cs ^{3} = As ^{3}-As ^{2}a+Bs ^{2} -Bsa+Cs ^{3}=}\)
\(\displaystyle{ = s^{3} (A+C)+s ^{2}(B-Aa)-sBa}\)
I problem jest w tym, że nie mam wyrazu wolnego, więc nie mogę nic przyrównać do współczynnika licznika funkcji. Co w takiej sytuacji?
-
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 4 razy
Odwrotna transformacja Laplace'e
No ok,
czyli
\(\displaystyle{ A+C=0}\)
\(\displaystyle{ B-Aa=0}\)
\(\displaystyle{ Ba=0}\)
\(\displaystyle{ ....=1}\)
co powinienem wstawić zamiast ....
zadanie muszę wykonać metodą rozkładu na ułamki proste
czyli
\(\displaystyle{ A+C=0}\)
\(\displaystyle{ B-Aa=0}\)
\(\displaystyle{ Ba=0}\)
\(\displaystyle{ ....=1}\)
co powinienem wstawić zamiast ....
zadanie muszę wykonać metodą rozkładu na ułamki proste
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Odwrotna transformacja Laplace'e
rozkład jest poprawny tylko gdzieś się gubisz w obliczeniach. Metoda szybka znajdowania współczynników korzysta z tego że porównujesz wielomiany który są zawsze równa więc dla szczególnych wartości \(\displaystyle{ s}\) tez są równe.
Z rozkładu mamy :
\(\displaystyle{ \frac{1}{s ^{2}(s-a)}=\frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{C}{s-a}}\)
czyli :
\(\displaystyle{ 1=As(s-a)+B(s-a)+Cs^2}\)
podstawmy \(\displaystyle{ s=0}\)
\(\displaystyle{ 1=B(0-a)=-aB}\) co daje \(\displaystyle{ B=- \frac{1}{a}}\)
podstawmy \(\displaystyle{ s=a}\)
\(\displaystyle{ 1=Ca^2}\) co daje \(\displaystyle{ C= \frac{1}{a^2}}\)
wartość \(\displaystyle{ A}\) można policzyć standardową metodą tak jak zauważyłeś :
\(\displaystyle{ A=-C=- \frac{1}{a^2}}\)
ostatecznie po podstawieniu i wykonani \(\displaystyle{ L^{-1}}\) :
\(\displaystyle{ L^{-1}[...](x)=- \frac{1}{a^2}- \frac{1}{a}x+ \frac{1}{a^2}e^{ax}}\)
Z rozkładu mamy :
\(\displaystyle{ \frac{1}{s ^{2}(s-a)}=\frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{C}{s-a}}\)
czyli :
\(\displaystyle{ 1=As(s-a)+B(s-a)+Cs^2}\)
podstawmy \(\displaystyle{ s=0}\)
\(\displaystyle{ 1=B(0-a)=-aB}\) co daje \(\displaystyle{ B=- \frac{1}{a}}\)
podstawmy \(\displaystyle{ s=a}\)
\(\displaystyle{ 1=Ca^2}\) co daje \(\displaystyle{ C= \frac{1}{a^2}}\)
wartość \(\displaystyle{ A}\) można policzyć standardową metodą tak jak zauważyłeś :
\(\displaystyle{ A=-C=- \frac{1}{a^2}}\)
ostatecznie po podstawieniu i wykonani \(\displaystyle{ L^{-1}}\) :
\(\displaystyle{ L^{-1}[...](x)=- \frac{1}{a^2}- \frac{1}{a}x+ \frac{1}{a^2}e^{ax}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 4 razy
Odwrotna transformacja Laplace'e
Ok, metodę Pana Janusza rozumiem, natomiast miodzio1988 dlaczego źle sprowadzam? Mnożę każdy licznik przez dwa pozostałe mianowniki. Szczerzę powiem, że przyglądam się i nie widzę błędu w moich obliczeniach :/.
Ponieważ mam biegun wielokrotny \(\displaystyle{ s ^{2}}\) to muszą być 3 ułamki proste.
Ponieważ mam biegun wielokrotny \(\displaystyle{ s ^{2}}\) to muszą być 3 ułamki proste.
Ostatnio zmieniony 10 paź 2016, o 23:10 przez mlp99, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 4 razy
Odwrotna transformacja Laplace'e
No tak, bo na tym polega ta metoda, jak mam bieguny wielokrone np \(\displaystyle{ L ^{-1} \left[ \frac{1}{s ^{3} }\right]}\) to rozbijam to na:
\(\displaystyle{ \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{B}{s ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{B}{s ^{3} }}\)
Ostatnio zmieniony 10 paź 2016, o 23:16 przez mlp99, łącznie zmieniany 1 raz.
Odwrotna transformacja Laplace'e
Nie o to chodzi, jak już masz \(\displaystyle{ s}\) i sprowadzasz do \(\displaystyle{ s ^{2}}\) to po co mnożysz przez \(\displaystyle{ s ^{2}}\) a nie tylko \(\displaystyle{ s}\)?>