Odwrotna transformacja Laplace'e

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mlp99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 4 razy

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: mlp99 »

Witam,

mam problem by dokończyć odwrotne przekształcenie Laplace'a:

\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ \frac{1}{s ^{2}(s-a)}\right] = \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{C}{s-a}}\)

\(\displaystyle{ As^{2} (s-a)+Bs(s-a)+Cs ^{3} = As ^{3}-As ^{2}a+Bs ^{2} -Bsa+Cs ^{3}=}\)
\(\displaystyle{ = s^{3} (A+C)+s ^{2}(B-Aa)-sBa}\)
I problem jest w tym, że nie mam wyrazu wolnego, więc nie mogę nic przyrównać do współczynnika licznika funkcji. Co w takiej sytuacji?
miodzio1988

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: miodzio1988 »

wyraz wolny to jeden
mlp99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 4 razy

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: mlp99 »

No ok,

czyli
\(\displaystyle{ A+C=0}\)
\(\displaystyle{ B-Aa=0}\)
\(\displaystyle{ Ba=0}\)
\(\displaystyle{ ....=1}\)

co powinienem wstawić zamiast ....
zadanie muszę wykonać metodą rozkładu na ułamki proste
miodzio1988

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: miodzio1988 »

zle sprowadzasz do wspolnego mianownika
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: Janusz Tracz »

rozkład jest poprawny tylko gdzieś się gubisz w obliczeniach. Metoda szybka znajdowania współczynników korzysta z tego że porównujesz wielomiany który są zawsze równa więc dla szczególnych wartości \(\displaystyle{ s}\) tez są równe.

Z rozkładu mamy :

\(\displaystyle{ \frac{1}{s ^{2}(s-a)}=\frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{C}{s-a}}\)

czyli :

\(\displaystyle{ 1=As(s-a)+B(s-a)+Cs^2}\)

podstawmy \(\displaystyle{ s=0}\)

\(\displaystyle{ 1=B(0-a)=-aB}\) co daje \(\displaystyle{ B=- \frac{1}{a}}\)

podstawmy \(\displaystyle{ s=a}\)

\(\displaystyle{ 1=Ca^2}\) co daje \(\displaystyle{ C= \frac{1}{a^2}}\)

wartość \(\displaystyle{ A}\) można policzyć standardową metodą tak jak zauważyłeś :

\(\displaystyle{ A=-C=- \frac{1}{a^2}}\)

ostatecznie po podstawieniu i wykonani \(\displaystyle{ L^{-1}}\) :

\(\displaystyle{ L^{-1}[...](x)=- \frac{1}{a^2}- \frac{1}{a}x+ \frac{1}{a^2}e^{ax}}\)
mlp99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 4 razy

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: mlp99 »

Ok, metodę Pana Janusza rozumiem, natomiast miodzio1988 dlaczego źle sprowadzam? Mnożę każdy licznik przez dwa pozostałe mianowniki. Szczerzę powiem, że przyglądam się i nie widzę błędu w moich obliczeniach :/.
Ponieważ mam biegun wielokrotny \(\displaystyle{ s ^{2}}\) to muszą być 3 ułamki proste.
Ostatnio zmieniony 10 paź 2016, o 23:10 przez mlp99, łącznie zmieniany 1 raz.
miodzio1988

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: miodzio1988 »

Jeden mianownik jest kwadratem drugiego więc za dużo mnożysz np
mlp99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 4 razy

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: mlp99 »

No tak, bo na tym polega ta metoda, jak mam bieguny wielokrone np \(\displaystyle{ L ^{-1} \left[ \frac{1}{s ^{3} }\right]}\) to rozbijam to na:

\(\displaystyle{ \frac{A}{s} + \frac{B}{s ^{2} } + \frac{B}{s ^{3} }}\)
Ostatnio zmieniony 10 paź 2016, o 23:16 przez mlp99, łącznie zmieniany 1 raz.
miodzio1988

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: miodzio1988 »

Nie o to chodzi, jak już masz \(\displaystyle{ s}\) i sprowadzasz do \(\displaystyle{ s ^{2}}\) to po co mnożysz przez \(\displaystyle{ s ^{2}}\) a nie tylko \(\displaystyle{ s}\)?>
mlp99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 13 wrz 2009, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 4 razy

Odwrotna transformacja Laplace'e

Post autor: mlp99 »

Aaa, rany. No tak. Tragedia. Już rozumiem, czyli ma być tak:

\(\displaystyle{ As(s-a)+B(s-a)+Cs ^{2}}\)

Dzięki :p
ODPOWIEDZ