Wartość bezględna w modelu wzrostu populacji

[dwukwiat15]

Witam, próbuje rozwiązać równanie logistyczne opisujące wzrost populacji.
Równanie ma postać:

\(\displaystyle{ x^{'} = ax(1-x)}\),

gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest parametrem, \(\displaystyle{ x = x\left( t\right)}\) funkcją opisującą wzrost populacji. Teraz próbuje to rozwiązywać wykorzystując rodzielanie zmiennych i ułamki proste. Dochodzę do równania postaci:

\(\displaystyle{ ln\left| \frac{x}{1-x} \right| = e^{at+k}}\),

gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest stałą pochodzącą od całkowania. Teraz widziałem w kilku dokumentach na ten temat, że zaniedbuje się w tym równaniu wartość bezwzględną i zamiast rozpatrywać dwa przypadki:

\(\displaystyle{ ln \frac{x}{1-x} = +-e^{at+k}}\),

rozpatruje się tylko przypadek:

\(\displaystyle{ ln \frac{x}{1-x} = e^{at+k}}\),

ale nigdzie nikt nie piszę dlaczego. Czy to wynika z tego, że zakładamy po cichu, że \(\displaystyle{ x(t) \ge 1}\)? Byłbym wdzięczny o komentarz odnośnie tego problemu. Pozdrawiam

[NogaWeza]

Rozwiązanie ma być:
\(\displaystyle{ at + k = \ln \left| \frac{x}{1-x} \right|}\). Następnie, aby pozbyć się logarytmu i wyłuskać \(\displaystyle{ x(t)}\) obkładamy obustronnie eksponentą. \(\displaystyle{ k}\) jest rzeczywiste.
\(\displaystyle{ e^{at +k} = \left| \frac{x}{1-x} \right|}\). Teraz z własności funkcji wykładniczej:
\(\displaystyle{ e^{at + k} = e^{at} \cdot e^k}\). O funkcji wykładniczej wiadomo, że jest dodatnia, zatem \(\displaystyle{ e^k}\) jest jakąś stałą dodatnią, nazwijmy ją \(\displaystyle{ C}\). Dochodzimy do równania postaci:
\(\displaystyle{ Ce^{at} = \left| \frac{x}{1-x} \right|}\), teraz z własności wartości bezwzględnej mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1-x} = Ce^{at}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{x}{1-x} = -Ce^{at}}\).
Przypominam, że \(\displaystyle{ C}\) było stałą dodatnią, więc teraz te dwa powyższe przypadki można połączyć po prostu przyjmując, że \(\displaystyle{ C}\) będzie stałą rzeczywistą.
Dochodzimy do rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{x(t)}{1 - x(t)} = Ce^{at}, C \in \mathbb{R}}\), stąd już sobie można wyliczyć jawnie \(\displaystyle{ x(t)}\), a potem wyliczyć stałą \(\displaystyle{ C}\) wstawiając warunki początkowe (jeśli są narzucone).

[dwukwiat15]

Konkretny argument. Dzięki za odpowiedź!

-- 4 września 2016, 18:05 --

Zastanawia mnie jeszcze jedna rzecz, bo rozwiązuje to równanie do końca i otrzymuje, że przy założeniu, że a \(\displaystyle{ a}\) jest parametrem większym od zera, oraz przy założeniu warunków początkowych \(\displaystyle{ t_{0} = 0}\), \(\displaystyle{ x\left( 0\right) = u_{0}}\) - początkowa wartość populacji; rozwiązaniem jest funkcja postaci:

\(\displaystyle{ x\left( t\right) = \frac{}{} \frac{x \left( 0 \right) e^{at} }{1- x\left( 0\right) + x\left( 0\right) e^{at} }}\).

Teraz jedna rzecz mi tu nie pasuje. Jeżeli przyjmę sobie na przykład, że \(\displaystyle{ x\left( 0\right) = -5}\), \(\displaystyle{ a = 1}\), to otrzymuje funkcję:

\(\displaystyle{ x\left( t \right) = \frac{-5e^{t}}{6-5e^{t}}}\).

Teraz jak się policzy granice z tej funkcji dla
dla \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\), albo wykreśli wykres, to widać, że dąży ona do wartości 1.
Z drugiej strony jak się spojrzy na wykres w linku poniżej:

to widać, że funkcja ta dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\). Pytanie dlaczego? Zastanawiam się czego tu nie rozumiem. Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie.-- 4 września 2016, 18:13 --Zastanawia mnie jeszcze jedna rzecz, bo rozwiązuje to równanie do końca i otrzymuje, że przy założeniu, że a \(\displaystyle{ a}\) jest parametrem większym od zera, oraz przy założeniu warunków początkowych \(\displaystyle{ t_{0} = 0}\), \(\displaystyle{ x\left( 0\right) = u_{0}}\) - początkowa wartość populacji; rozwiązaniem jest funkcja postaci:

\(\displaystyle{ x\left( t\right) = \frac{}{} \frac{x \left( 0 \right) e^{at} }{1- x\left( 0\right) + x\left( 0\right) e^{at} }}\).

Teraz jedna rzecz mi tu nie pasuje. Jeżeli przyjmę sobie na przykład, że \(\displaystyle{ x\left( 0\right) = -5}\), \(\displaystyle{ a = 1}\), to otrzymuje funkcję:

\(\displaystyle{ x\left( t \right) = \frac{-5e^{t}}{6-5e^{t}}}\).

Teraz jak się policzy granice z tej funkcji dla \(\displaystyle{ t \rightarrow \infty}\), albo wykreśli wykres, to widać, że dąży ona do wartości 1.
Z drugiej strony jak się spojrzy na wykres w linku poniżej:



to widać, że dla dowolnego warunku początkowego \(\displaystyle{ x\left( 0 \right) < 0}\) funkcja dąży do \(\displaystyle{ - \infty}\). Pytanie dlaczego? Zastanawiam się czego tu nie rozumiem. Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie.

[lukasz1804]

Problem tkwi w pewnym uproszczeniu rozwiązania ogólnego. Choć w ogólności (na całej płaszczyźnie) rozwiązania równania mogą być postaci \(\displaystyle{ \frac{x(t)}{1 - x(t)} = Ce^{at}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ C\in\RR}\), to w każdym przypadku \(\displaystyle{ y<0, 0<y<1, y>1}\) pojawiają się pewne ograniczenia na stałą \(\displaystyle{ C}\).

I tak dla \(\displaystyle{ y<0}\) mamy tylko \(\displaystyle{ C>0}\). Tymczasem przy warunkach \(\displaystyle{ a=1, y(0)=-5}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ C=-\frac{5}{6}}\).