Strona 1 z 1
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 20:15
autor: zyrafka
Cześć,
Nie wiem czy mnie zaćmiło czy o co chodzi...
Mam problem z obliczeniem odwrotnej transformaty
\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^{\alpha}}\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in(0,1)}\)
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 21:21
autor: Mariusz M
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }{t^{ \alpha }e^{-st} \mbox{d}t}\\
u=st\\
\mbox{d}u=s \mbox{d}t\\
\mbox{d}t=\frac{1}{s} \mbox{d}u\\
\frac{1}{s}\int_{0}^{ \infty }{\left( \frac{u}{s} \right)^{ \alpha }e^{-u} \mbox{d}u }\\
=\frac{1}{s^{ \alpha +1}}\int_{0}^{ \infty }{u^{ \alpha }e^{-u} \mbox{d}u}\\
=\frac{1}{s^{ \alpha +1}}\int_{0}^{ \infty }{u^{ \left( \alpha+1\right)-1 }e^{-u} \mbox{d}u}\\
= \frac{\Gamma\left( \alpha +1 \right) }{s^{ \alpha +1}} \\
\mathcal{L}{\left( t^{ \alpha }\right) }=\frac{\Gamma\left( \alpha +1 \right) }{s^{ \alpha +1}}\\}\)
Pozostaje jeszcze sprawdzić zbieżność tej całki
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 21:26
autor: zyrafka
Tylko, że policzyłeś transformatę Laplace'a, a ja potrzebuję odwrotnej, też z definicji odwrotnej transformaty da się to zrobić?
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 21:38
autor: Mariusz M
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( t^{ \alpha-1 }\right)=\frac{\Gamma\left( \alpha \right) }{s^{ \alpha }}\\
\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)}\mathcal{L}\left( t^{ \alpha-1 }\right)=\frac{1}{s^{ \alpha }}\\
\mathcal{L}\left(\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)} \cdot t^{ \alpha-1 }\right)=\frac{1}{s^{ \alpha }}\\
\mathcal{L}^{- 1}\left( \frac{1}{s^{ \alpha }} \right) =\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)} \cdot t^{ \alpha-1 }\\}\)
Trzeba jeszcze sprawdzić zbieżność tej całki
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 21:51
autor: zyrafka
W pierwszej linijce wykorzystujesz wzór \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left[t^n\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}}\), który jest prawdziwy tylko dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnych, więc czy Twoje obliczenia są prawdziwe?
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 21:56
autor: Mariusz M
Z całki wyszła \(\displaystyle{ \Gamma}\)
a ona jest zbieżna dla \(\displaystyle{ \Re{z}>0}\)
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 21:59
autor: zyrafka
I to oznacza, że to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ \alpha<1}\)?
Odwrotna transformata Laplace'a
: 9 maja 2016, o 22:06
autor: Mariusz M
Powinna być zbieżna