Odwrotna transformata Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: zyrafka » 9 maja 2016, o 20:15

Cześć,
Nie wiem czy mnie zaćmiło czy o co chodzi...
Mam problem z obliczeniem odwrotnej transformaty
\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^{\alpha}}\right]}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in(0,1)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: mariuszm » 9 maja 2016, o 21:21

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }{t^{ \alpha }e^{-st} \mbox{d}t}\\ u=st\\ \mbox{d}u=s \mbox{d}t\\ \mbox{d}t=\frac{1}{s} \mbox{d}u\\ \frac{1}{s}\int_{0}^{ \infty }{\left( \frac{u}{s} \right)^{ \alpha }e^{-u} \mbox{d}u }\\ =\frac{1}{s^{ \alpha +1}}\int_{0}^{ \infty }{u^{ \alpha }e^{-u} \mbox{d}u}\\ =\frac{1}{s^{ \alpha +1}}\int_{0}^{ \infty }{u^{ \left( \alpha+1\right)-1 }e^{-u} \mbox{d}u}\\ = \frac{\Gamma\left( \alpha +1 \right) }{s^{ \alpha +1}} \\ \mathcal{L}{\left( t^{ \alpha }\right) }=\frac{\Gamma\left( \alpha +1 \right) }{s^{ \alpha +1}}\\}\)

Pozostaje jeszcze sprawdzić zbieżność tej całki

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: zyrafka » 9 maja 2016, o 21:26

Tylko, że policzyłeś transformatę Laplace'a, a ja potrzebuję odwrotnej, też z definicji odwrotnej transformaty da się to zrobić?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: mariuszm » 9 maja 2016, o 21:38

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( t^{ \alpha-1 }\right)=\frac{\Gamma\left( \alpha \right) }{s^{ \alpha }}\\ \frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)}\mathcal{L}\left( t^{ \alpha-1 }\right)=\frac{1}{s^{ \alpha }}\\ \mathcal{L}\left(\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)} \cdot t^{ \alpha-1 }\right)=\frac{1}{s^{ \alpha }}\\ \mathcal{L}^{- 1}\left( \frac{1}{s^{ \alpha }} \right) =\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)} \cdot t^{ \alpha-1 }\\}\)

Trzeba jeszcze sprawdzić zbieżność tej całki

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: zyrafka » 9 maja 2016, o 21:51

W pierwszej linijce wykorzystujesz wzór \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left[t^n\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}}\), który jest prawdziwy tylko dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnych, więc czy Twoje obliczenia są prawdziwe?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: mariuszm » 9 maja 2016, o 21:56

Z całki wyszła \(\displaystyle{ \Gamma}\)
a ona jest zbieżna dla \(\displaystyle{ \Re{z}>0}\)

zyrafka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 24 maja 2013, o 15:26
Płeć: Kobieta
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 1 raz

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: zyrafka » 9 maja 2016, o 21:59

I to oznacza, że to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ \alpha<1}\)?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Odwrotna transformata Laplace'a

Post autor: mariuszm » 9 maja 2016, o 22:06

Powinna być zbieżna

ODPOWIEDZ