Mam problemy z zadaniem. Cyba mam około połowy, ale nie wiem co dalej...
Rozwiąż równanie dyfuzji \(\displaystyle{ u_{t}=u_{xx} , x\in (0,1)}\) z mieszanymi warunkami brzegowymi:
\(\displaystyle{ u(0,t)=u_{x}(1,t)=0}\) i warunkiem początkowym \(\displaystyle{ \phi(x)}\)
Szukam rozwiązań wśród funkcji o zmiennych rozdzielonych \(\displaystyle{ u(x,t)=X(x)T(t)}\)... no i tu pierwszy problem... wiem że tak się robi, ale nie za bardzo wiem dlaczego nic nie gubię.
No i podstawiając i przenosząc mam
\(\displaystyle{ \frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}}\) jedne zmienne z jednej strony, drugie z drugiej, prawdziwe dla każdej pary, więc musi wychodzić stała (ozn. \(\displaystyle{ \lambda}\)). Korzystając z warunków początkowych mam że albo \(\displaystyle{ T(t)=0}\) albo \(\displaystyle{ X(0)=X'(1)=0}\). Pierwszy przypadek nie ciekawy. Natomiast drugi...
Mam równanie \(\displaystyle{ X''-\labda X=0}\) wychodzą 3 przypadki (zależne od znaku lambdy). No i Po jakiś przekształceniach zostaje tylko ten że \(\displaystyle{ \lambda<0}\) no i mam że
\(\displaystyle{ X=csin(\sqrt{\lambda}x)}\)
No i z warunku początkowego mam że \(\displaystyle{ -\lambda_{k}=(k\pi+\frac{\pi}{2})^{2}}\)
Teraz wracam do \(\displaystyle{ T'=\lambda_{k}T}\) i mi wychodzi \(\displaystyle{ T=Ce^{\lambda_{k}t}}\)
I nie wiem co teraz. Jak ten warunek początkowy uwzględnić. Wiem że jakoś trzeba szeregi Furiera w to wpleść, ale nie rozumiem jak.
równanie dyfuzji
-
jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
równanie dyfuzji
O, wygląda jak zadanie od pana Karcha
Zdaje się, że musisz zrobić tak: z równania \(\displaystyle{ T' = T}\) wychodzi Ci, że \(\displaystyle{ T(t) =c_1 \exp (\lambda t)}\). Teraz zastanówmy się nad drugim równaniem, tj.
\(\displaystyle{ X'' + \lambda X = 0}\) (jak słusznie zauważyłeś musi być, że \(\displaystyle{ \lambda > 0}\) - w moim równaniu)
Podstawiając \(\displaystyle{ X(x) = \exp(rx)}\) dostajemy rozwiązania: \(\displaystyle{ X_1(t) = \sin(\sqrt{|\lambda|}x)}\), oraz \(\displaystyle{ X_2(x) = \cos(\sqrt{|\lambda|}x)}\).
Zatem \(\displaystyle{ X(t) = c_2X_1 + c_3 X_2}\)
Z warunków brzegowych wyliczamy stałe, tj. (chcemy je dobrać tak, żeby \(\displaystyle{ c_1\neq 0}\))
\(\displaystyle{ X(0) = c_3}\), zatem \(\displaystyle{ c_3 = 0}\)
\(\displaystyle{ X(1) = c_2\sin(\sqrt{|\lambda|} = 0}\), ponieważ \(\displaystyle{ c_3 = 0}\).
Stąd mamy, że albo \(\displaystyle{ c_3 = 0}\), ale to jest nudny wariant, bo wtedy \(\displaystyle{ c_1 = 0}\) i mamy rozwiązanie stale równe zero, albo \(\displaystyle{ \sin\sqrt{|\lambda|} = 0}\). Tak się dzieje, gdy
\(\displaystyle{ \lambda = -k^2\pi^2}\), możemy sobie warianty naszych stałych oznaczyć przez \(\displaystyle{ \lambda_k}\).
Wtedy każda z funkcji \(\displaystyle{ u_k(x,t) = c_k\exp(-k^2\pi^2\cdot t)\cdot\cos\left(k\pi x\right)}\) jest rozwiązaniem. Wtedy rozwiązaniem ogólnym jest szereg
\(\displaystyle{ u(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty}c_k \cdot \exp(-k^2\pi^2\cdot t)\cdot\cos\left(k\pi x\right)}\)
Ale chcielibyśmy wyliczyć stałe \(\displaystyle{ c_k}\)...
Skorzystajmy z warunku początkowego, tzn.
\(\displaystyle{ u_0(x) = u(x, 0) = \sum_{k=0}^{\infty}c_k\cos(k\pi x)}\),
a to, jak wszyscy widzą, jest parzysta część rozwinięcia w szereg Fouriera pewnej funkcji (jakiej? ), zatem
\(\displaystyle{ c_k = \int_0^1 u_0(x)\cos(k\pi x)dx}\)
Powodzenia na jutrzejszym egzaminie -- 3 wrz 2015, o 19:35 --PS rąbnąłem się w doborze stałej \(\displaystyle{ \lambda}\). Ty zrobiłeś to dobrze, ale wszystko inne w moim poście jest dobrze (to znaczy idea podejścia do problemu)
Zdaje się, że musisz zrobić tak: z równania \(\displaystyle{ T' = T}\) wychodzi Ci, że \(\displaystyle{ T(t) =c_1 \exp (\lambda t)}\). Teraz zastanówmy się nad drugim równaniem, tj.
\(\displaystyle{ X'' + \lambda X = 0}\) (jak słusznie zauważyłeś musi być, że \(\displaystyle{ \lambda > 0}\) - w moim równaniu)
Podstawiając \(\displaystyle{ X(x) = \exp(rx)}\) dostajemy rozwiązania: \(\displaystyle{ X_1(t) = \sin(\sqrt{|\lambda|}x)}\), oraz \(\displaystyle{ X_2(x) = \cos(\sqrt{|\lambda|}x)}\).
Zatem \(\displaystyle{ X(t) = c_2X_1 + c_3 X_2}\)
Z warunków brzegowych wyliczamy stałe, tj. (chcemy je dobrać tak, żeby \(\displaystyle{ c_1\neq 0}\))
\(\displaystyle{ X(0) = c_3}\), zatem \(\displaystyle{ c_3 = 0}\)
\(\displaystyle{ X(1) = c_2\sin(\sqrt{|\lambda|} = 0}\), ponieważ \(\displaystyle{ c_3 = 0}\).
Stąd mamy, że albo \(\displaystyle{ c_3 = 0}\), ale to jest nudny wariant, bo wtedy \(\displaystyle{ c_1 = 0}\) i mamy rozwiązanie stale równe zero, albo \(\displaystyle{ \sin\sqrt{|\lambda|} = 0}\). Tak się dzieje, gdy
\(\displaystyle{ \lambda = -k^2\pi^2}\), możemy sobie warianty naszych stałych oznaczyć przez \(\displaystyle{ \lambda_k}\).
Wtedy każda z funkcji \(\displaystyle{ u_k(x,t) = c_k\exp(-k^2\pi^2\cdot t)\cdot\cos\left(k\pi x\right)}\) jest rozwiązaniem. Wtedy rozwiązaniem ogólnym jest szereg
\(\displaystyle{ u(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty}c_k \cdot \exp(-k^2\pi^2\cdot t)\cdot\cos\left(k\pi x\right)}\)
Ale chcielibyśmy wyliczyć stałe \(\displaystyle{ c_k}\)...
Skorzystajmy z warunku początkowego, tzn.
\(\displaystyle{ u_0(x) = u(x, 0) = \sum_{k=0}^{\infty}c_k\cos(k\pi x)}\),
a to, jak wszyscy widzą, jest parzysta część rozwinięcia w szereg Fouriera pewnej funkcji (jakiej? ), zatem
\(\displaystyle{ c_k = \int_0^1 u_0(x)\cos(k\pi x)dx}\)
Powodzenia na jutrzejszym egzaminie -- 3 wrz 2015, o 19:35 --PS rąbnąłem się w doborze stałej \(\displaystyle{ \lambda}\). Ty zrobiłeś to dobrze, ale wszystko inne w moim poście jest dobrze (to znaczy idea podejścia do problemu)
-
malgoskk
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 11:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Piotrków Tryb.
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 5 razy
równanie dyfuzji
Witam
Nie chciałabym powielać postów, stąd piszę tutaj.
Mam identyczne równanie do rozwiązania.
Z tym, że warunki brzegowe są jednorodne \(\displaystyle{ u(0,t)=u(\pi,t)=0}\), \(\displaystyle{ x\in[0,\pi]}\)
Warunek początkowy dany jest funkcją
\(\displaystyle{ u_o(x)=\left\ \begin{cases} x, dla \ x\in(0, \frac{\pi}{2} ) \\ (\pi-x), dla\ x\in( \frac{\pi}{2},\pi ) \end{cases}}\)
Zadanie rozwiązuje metodą rozdzielania zmiennych.
Dochodzę do momentu gdy muszę wykorzystać warunek początkowy aby wyznaczyć (u mnie)
współczynnik \(\displaystyle{ b_n}\), czyli
\(\displaystyle{ u_o(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } b_n sin \frac{n\pi}{l}x \\
b_n= \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u_0(x) sin \frac{n\pi}{l}xdx , \ gdzie\ l=\pi}\)
Pytanie moje jest teraz takie.
Jakie będą granice całkowania?
Wyznaczając współczynnik \(\displaystyle{ b_n}\)
Należy całkować po odpowiednich przedziałach w zależności którą funkcję całkujemy?-- 4 września 2016, 08:38 --Już wiem.
Znalazłam w podręczniku przykład.
Całkę trzeba zamienić na sumę całek po odpowiednich przedziałach.
Nie chciałabym powielać postów, stąd piszę tutaj.
Mam identyczne równanie do rozwiązania.
Z tym, że warunki brzegowe są jednorodne \(\displaystyle{ u(0,t)=u(\pi,t)=0}\), \(\displaystyle{ x\in[0,\pi]}\)
Warunek początkowy dany jest funkcją
\(\displaystyle{ u_o(x)=\left\ \begin{cases} x, dla \ x\in(0, \frac{\pi}{2} ) \\ (\pi-x), dla\ x\in( \frac{\pi}{2},\pi ) \end{cases}}\)
Zadanie rozwiązuje metodą rozdzielania zmiennych.
Dochodzę do momentu gdy muszę wykorzystać warunek początkowy aby wyznaczyć (u mnie)
współczynnik \(\displaystyle{ b_n}\), czyli
\(\displaystyle{ u_o(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } b_n sin \frac{n\pi}{l}x \\
b_n= \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u_0(x) sin \frac{n\pi}{l}xdx , \ gdzie\ l=\pi}\)
Pytanie moje jest teraz takie.
Jakie będą granice całkowania?
Wyznaczając współczynnik \(\displaystyle{ b_n}\)
Należy całkować po odpowiednich przedziałach w zależności którą funkcję całkujemy?-- 4 września 2016, 08:38 --Już wiem.
Znalazłam w podręczniku przykład.
Całkę trzeba zamienić na sumę całek po odpowiednich przedziałach.