równanie cząstkowe pierwszego rzędu

[_radek]

Mam problem z jednym równaniem.
\(\displaystyle{ au_{x}+bu_{y}+cu=0}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są stałe. No i mam wskazówkę żeby szukać rozwiązania w postaci \(\displaystyle{ u(x,y)=v(x,y)e^{\alpha x}}\) odpowiednio dobierając współczynnik \(\displaystyle{ \alpha}\)
Więc wstawiam to pod równanie i otrzymuję
\(\displaystyle{ a(v_{x}e^{\alpha x}+\alpha ve^{\alpha x})+b(v_{y}e^{\alpha x}) +c(ve^{\alpha x})=0 \\
e^{\alpha x}(av_{x}+bv_{y}+v(a \alpha + c))=0}\)
No i.... nie mam pojęcia jak dobrać ten współczynnik tak, aby mi się to wyzerowało, tzn jak patrzę na tą postać to nawet powiedziałbym że się nie da tak aby dla każdej funkcji \(\displaystyle{ v}\) to było prawdziwe...

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{a}= \frac{ \mbox{d}y}{b}= \frac{ \mbox{d}u}{-cu}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{a}= \frac{ \mbox{d}y}{b}\\
\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=C\\
\frac{ \mbox{d}x }{a}=\frac{ \mbox{d}u}{-cu}\\
-c\frac{ \mbox{d}x }{a}=\frac{ \mbox{d}u}{u}\\
- \frac{c}{a}x+C=ln\left| y\right| \\
u=Ce^{-\frac{c}{a}x}\\
ue^{\frac{c}{a}x}=C\\
F\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}, ue^{\frac{c}{a}x}\right) =0}\)