Witam, mam problem z zadaniem z równań różniczkowych. Mam pokazać że wszystkie rozwiązania \(\displaystyle{ x(t),y(t)}\) układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=-1-y+x^{2} \\ \frac{dy}{dt}=x+xy \end{cases}}\)
które startują wewnątrz okręgu jednostkowego zostaną w nim.
Rozwiązania układu startujące w okręgu zostają w nim.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Rozwiązania układu startujące w okręgu zostają w nim.
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ x(t)\neq 0 \wedge y(t)\neq 0}\)
możemy pierwsze równanko pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ x}\), drugie zaś przez \(\displaystyle{ y}\), po czym dodać stronami. Otrzymamy \(\displaystyle{ x \frac{dx}{dt}+y \frac{dy}{dt}=x^{3}-x+xy^{2}}\); pomnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i zauważmy teraz, ze lewa strona to jest \(\displaystyle{ \frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2})}\), no a prawa, to jest \(\displaystyle{ 2x(x^{2}+y^{y}-1)}\). No a jak startujemy z wnętrza, to mamy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}<1}\), więc prawa strona będzie ujemna, czyli jak wystartujemy wewnątrz okręgu jednostkowego, to ze wzrostem \(\displaystyle{ t}\) będzie się zmniejszać \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\), czyli kwadrat odległości od wektora zerowego, no czyli i sama odległość od wektora zerowego będzie malała. Czyli rozwiązania startujące wewnątrz tego okręgu zbliżają się do \(\displaystyle{ (0,0)}\), więc nie mogą przeciąć okręgu, bo skoro by przecięły, startując z miejsca o promieniu\(\displaystyle{ <1}\), znaczyłoby to, że promień wzrósł, no a nie mógł wzrosnąć, bo wtedy wzrósłby jego kwadrat, czyli \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\), no ale to jest stale malejące w jednostkowym kole otwartym.
Ma to ręce i nogi??
-- 27 maja 2015, o 00:02 --
No i trzeba jeszcze rozpatrzyć, co się dzieje na osiach (\(\displaystyle{ x\equiv 0}\) lub \(\displaystyle{ y \equiv 0}\)), ale to jest chiba proste.
możemy pierwsze równanko pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ x}\), drugie zaś przez \(\displaystyle{ y}\), po czym dodać stronami. Otrzymamy \(\displaystyle{ x \frac{dx}{dt}+y \frac{dy}{dt}=x^{3}-x+xy^{2}}\); pomnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i zauważmy teraz, ze lewa strona to jest \(\displaystyle{ \frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2})}\), no a prawa, to jest \(\displaystyle{ 2x(x^{2}+y^{y}-1)}\). No a jak startujemy z wnętrza, to mamy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}<1}\), więc prawa strona będzie ujemna, czyli jak wystartujemy wewnątrz okręgu jednostkowego, to ze wzrostem \(\displaystyle{ t}\) będzie się zmniejszać \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\), czyli kwadrat odległości od wektora zerowego, no czyli i sama odległość od wektora zerowego będzie malała. Czyli rozwiązania startujące wewnątrz tego okręgu zbliżają się do \(\displaystyle{ (0,0)}\), więc nie mogą przeciąć okręgu, bo skoro by przecięły, startując z miejsca o promieniu\(\displaystyle{ <1}\), znaczyłoby to, że promień wzrósł, no a nie mógł wzrosnąć, bo wtedy wzrósłby jego kwadrat, czyli \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\), no ale to jest stale malejące w jednostkowym kole otwartym.
Ma to ręce i nogi??
-- 27 maja 2015, o 00:02 --
No i trzeba jeszcze rozpatrzyć, co się dzieje na osiach (\(\displaystyle{ x\equiv 0}\) lub \(\displaystyle{ y \equiv 0}\)), ale to jest chiba proste.
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Rozwiązania układu startujące w okręgu zostają w nim.
A ja spróbowałbym policzyć iloczyn skalarny tego pola z wektorem ze sfery. Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ x^2+y^2 = 1}\):
\(\displaystyle{ \langle (x,y), (-1-y+x^2, x+xy) \rangle = -x-xy+x^3 +xy+xy^2 = x^3 - x + xy^2 = x^3 - x + x(1-x^2) = x^3 - x + x - x^3 = 0.}\)
Oznacza to, że na okręgu pole jest styczne do okręgu; nie może zatem nic wchodzić, ani wychodzić przez ten okrąg.
\(\displaystyle{ \langle (x,y), (-1-y+x^2, x+xy) \rangle = -x-xy+x^3 +xy+xy^2 = x^3 - x + xy^2 = x^3 - x + x(1-x^2) = x^3 - x + x - x^3 = 0.}\)
Oznacza to, że na okręgu pole jest styczne do okręgu; nie może zatem nic wchodzić, ani wychodzić przez ten okrąg.