Wartość własna - wektory własne.

[xxmonikaxx]

Mam problem z zadaniem. Na zajęciach zostało powiedziane że wartość własna ma tylko jeden wektor własny a mi się wydaje, że ma dwa. Czy moglibyście sprawdzić następujące zadanie?

Zadanie:
Mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1'=2x_2-3x_1, \\ x_2'=x_2-2x_1. \end{cases}}\)
Punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest punktem krytycznym - dokonaj jego klasyfikacji.
Zatem
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{cc}-3&2\\-2&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \det A=\lambda^2+2\lambda+1}\)
\(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=-1}\)
Chce sprawdzić czy ma dwa czy jeden wektory własne ( bo wtedy odpowiednio będzie to węzeł gwiaździsty stabilny albo węzeł zdegenerowany stabilny).
Stąd:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-3&2\\-2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)
na ćwiczeniach otrzymaliśmy jeden wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\).
Ale mi też wyszedł drugi stąd:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-3&2\\-2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\)
czyli \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} \\1\end{array}\right]}\).
Na ćwiczeniach było powiedziane, że ma tylko jeden. Nie rozumiem więc kiedy wartości własnej odpowiada jeden a kiedy dwa wektory własne liniowo niezależne. Jak to formalnie sprawdzić?

[Medea 2]

Uwaga formalna: \(\displaystyle{ \det (A-\lambda I)}\), a nie \(\displaystyle{ \det A}\). Nie wiem, jak Ty liczysz wektory własne. Powinno być \(\displaystyle{ A (v_1, v_2)^t = (-v_1, -v_2)^t = \lambda(v_1,v_2)^t}\). Po rozwiązaniu układu dostajesz \(\displaystyle{ v_1 = v_2}\), czyli wektor \(\displaystyle{ (1,1)}\) - tak właśnie sprawdza się, że będzie tylko jeden wektor własny. Mogę tylko przypuszczać, skąd wzięłaś drugie, złe rozwiązanie.

[yorgin]

Na ćwiczeniach było powiedziane, że ma tylko jeden. Nie rozumiem więc kiedy wartości własnej odpowiada jeden a kiedy dwa wektory własne liniowo niezależne. Jak to formalnie sprawdzić?

Poczytaj ten temat: 364813.htm

Wektory własne tworzą macierz przejścia między dwiema macierzami i z natury są odwracalne, więc powinno się zawsze dostać liniowo niezależne wektory własne, nawet jeżeli odpowiadają one tej samej wartości własnej. A sama konstrukcja wektorów przy wielokrotnej wartości własnej jest taka, by dobierać z odpowiedniej przestrzeni wektory liniowo niezależne.

[xxmonikaxx]

Medea 2 czy mogła byś podać przykład gdzie otrzyma się dwa wektory własne odpowiadające jednej wartości własnej? bo może na przykładzie dostrzege różnice ...