Kilka równań różniczkowych.

[xxmonikaxx]

Mam problem z rozwiązaniem tego rownania:
1. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \sin (x-y)}\)
Próbowałam zastosować podstawienie: \(\displaystyle{ x-y=z}\) ale otrzymałam wtedy \(\displaystyle{ \frac{dz}{\sin z - 1} =-1 dx}\) i nie wiem jak policzyć całke z wyrażenia po lewej...

2.\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y}}\)
Te wydaje się być proste ale gdy stosuje podstawienie \(\displaystyle{ z=x+y}\) to otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{z dz}{1+y}=dx}\) dodając i obejmując 1 otrzymuje \(\displaystyle{ z-\li |1+z|=t+c}\) a powinnam \(\displaystyle{ 1+x+y=ce^y}\)

3.\(\displaystyle{ 2x+3y-1+(4x+6y-5) \frac{dy}{dx} =0}\)
Tu stosuje podstawienie \(\displaystyle{ z=4x+6y-5}\).
Dostaję że \(\displaystyle{ z-\li |z+9|=x+c}\) a powinno być \(\displaystyle{ x+2y+e\ln |2x+3y - u|=c}\)

4.mam przykład \(\displaystyle{ 6x^3(2ydx-3xdy)+y^4(-3ydx+2xdy)=0}\) i nie wiem jak to przekształcić by dostać równanie postaci:\(\displaystyle{ y'=f( \frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2} )}\).

[bartek118]

\(\displaystyle{ x-y = z \\
z' = 1 - y' \\
y' = 1 - z' \\
y' = \sin (z) \\
1 - z' = \sin (z) \\
z' = 1 - \sin(z)}\)

Edit: powyżej przed chwilą była głupota. Faktycznie
\(\displaystyle{ \int \frac{\mathrm{d}z}{1-\sin(z)} = \int \mathrm{d}x}\)-- 24 mar 2015, o 18:32 --Podejrzewam, że trzeba zastosować podstawienie uniwersalne, albo spróbować:
\(\displaystyle{ \int \frac{\mathrm{d}z}{1-\sin(z)} = \int \frac{1+\sin(z)}{\cos^2 z} \mathrm{d}z = \int \frac{1}{\cos^2 z} \mathrm{d}z + \int \frac{\sin(z)}{\cos^2 (z)} \mathrm{d}z}\)
Pierwsza całka - widać co to; drugą przez podstawienie.

[xxmonikaxx]

Dziękuję za pomoc. Mógłbyś spojrzeć na 2.?

[bartek118]

\(\displaystyle{ (x+y) y' = 1 \\
z = x+y \\
z' = 1+y' \\
y' = z' - 1 \\
z (z' -1) = 1 \\
z z' - z = 1 \\
z' = \frac{1+z}{z} \\
\int \frac{z}{1+z} \mathrm{d}z = \int \mathrm{d}x}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \int \frac{z}{1+z} \mathrm{d}z = \int 1 - \frac{1}{1+z} \mathrm{d}z = z - \ln |1+z| + C}\)
Czyli
\(\displaystyle{ x = z - \ln |1+z| + C \\
x = x+y - \ln|1+x+y| + C \\
y + C = \ln |1+x+y| \\
\tilde{C} e^y = 1+x+y}\)

[xxmonikaxx]

Dzięki za wyjaśnienie... Żeby nie zaśmiecać forum nowym tematem dodałam tu przykład 3 i 4.