Trzy równania różniczkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krak
- Podziękował: 40 razy
Trzy równania różniczkowe
Mam problem z rozwiązaniem następujących równań:
\(\displaystyle{ 1. (2t-x^2)x'=2x}\)
\(\displaystyle{ 2. x'= \frac{t-x } {t+x}}\)
\(\displaystyle{ 3. x'=(t-x )^2 +1}\)
W 2. zastosowałam postawienie \(\displaystyle{ z=\frac{y} {x}}\) ale otrzymałam na koniec:
\(\displaystyle{ -x^2-2xt +x^2=c}\)
i nie wiem jak wyliczyć stąd x.
\(\displaystyle{ 1. (2t-x^2)x'=2x}\)
\(\displaystyle{ 2. x'= \frac{t-x } {t+x}}\)
\(\displaystyle{ 3. x'=(t-x )^2 +1}\)
W 2. zastosowałam postawienie \(\displaystyle{ z=\frac{y} {x}}\) ale otrzymałam na koniec:
\(\displaystyle{ -x^2-2xt +x^2=c}\)
i nie wiem jak wyliczyć stąd x.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Trzy równania różniczkowe
\(\displaystyle{ -x^2+x^2=?}\)xxmonikaxx pisze:
W 2. zastosowałam postawienie \(\displaystyle{ z=\frac{y} {x}}\) ale otrzymałam na koniec:
\(\displaystyle{ -x^2-2xt +x^2=c}\)
i nie wiem jak wyliczyć stąd x.
W 2) \(\displaystyle{ t-x=z}\)
W 1) \(\displaystyle{ z=2t-x^2}\) i potem podobnie jak w 2)
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krak
- Podziękował: 40 razy
Trzy równania różniczkowe
W 3. to zamiast ostatniego \(\displaystyle{ x^2}\) to jest\(\displaystyle{ t^2}\) źle napisałam to co otrzymałam na koniec...
Co do drugiego to mógłbyś napisać jak wygląda równanie po postawieniu bo mi jakieś głupoty wychodzą...
Co do drugiego to mógłbyś napisać jak wygląda równanie po postawieniu bo mi jakieś głupoty wychodzą...
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Trzy równania różniczkowe
S-ry. Podstawienie \(\displaystyle{ z=1-t}\) stosuje się w 3)
W 2) oczywiście nie stosuj podstawienia\(\displaystyle{ z=y/x}\) tylko \(\displaystyle{ z=x/t}\). Przelicz, musi wyjść.
W 2) oczywiście nie stosuj podstawienia\(\displaystyle{ z=y/x}\) tylko \(\displaystyle{ z=x/t}\). Przelicz, musi wyjść.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Trzy równania różniczkowe
\(\displaystyle{ 1. (2t-x^2)x'=2x\\
2t-x^2=2xt'\\
t'=\frac{t}{x}-\frac{x}{2}\\
t'-\frac{t}{x}=-\frac{x}{2}\\}\)
Równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ t'-\frac{t}{x}=0\\
t'=\frac{t}{x}\\
\frac{t'}{t}=\frac{1}{x}\\
\frac{ \mbox{d}t}{t}= \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\ln{\left| t\right| } =\ln{\left| x\right| }+C\\
t=Cx\\
t\left( x\right)=C\left( x\right)x\\
C'\left( x\right)x+C\left( x\right)- \frac{1}{x} C\left( x\right)x=-\frac{x}{2}\\
C'\left( x\right)x=-\frac{x}{2}\\
C'\left( x\right)=-\frac{1}{2}\\
C\left( x\right)=-\frac{x}{2}+C_{1}\\
t\left( x\right)=\left(-\frac{x}{2}+C_{1} \right)x\\
t\left( x\right)=-\frac{x^2}{2}+C_{1}x\\}\)
2t-x^2=2xt'\\
t'=\frac{t}{x}-\frac{x}{2}\\
t'-\frac{t}{x}=-\frac{x}{2}\\}\)
Równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ t'-\frac{t}{x}=0\\
t'=\frac{t}{x}\\
\frac{t'}{t}=\frac{1}{x}\\
\frac{ \mbox{d}t}{t}= \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\ln{\left| t\right| } =\ln{\left| x\right| }+C\\
t=Cx\\
t\left( x\right)=C\left( x\right)x\\
C'\left( x\right)x+C\left( x\right)- \frac{1}{x} C\left( x\right)x=-\frac{x}{2}\\
C'\left( x\right)x=-\frac{x}{2}\\
C'\left( x\right)=-\frac{1}{2}\\
C\left( x\right)=-\frac{x}{2}+C_{1}\\
t\left( x\right)=\left(-\frac{x}{2}+C_{1} \right)x\\
t\left( x\right)=-\frac{x^2}{2}+C_{1}x\\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krak
- Podziękował: 40 razy
Trzy równania różniczkowe
Dziękuję za pomoc.
Tylko Mariusz nie rozumiem zamiany x' na t' w drugiej linijce...woo
Tylko Mariusz nie rozumiem zamiany x' na t' w drugiej linijce...woo
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Trzy równania różniczkowe
\(\displaystyle{ (2t-x^2)x'=2x\\
(2t-x^2) \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=2x\\
(2t-x^2) \mbox{d}x =2x \mbox{d}t\\
(2t-x^2)=2x \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }\\}\)
(2t-x^2) \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=2x\\
(2t-x^2) \mbox{d}x =2x \mbox{d}t\\
(2t-x^2)=2x \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }\\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 13:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krak
- Podziękował: 40 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Trzy równania różniczkowe
xxmonikaxx, nie rozwiązywaliście równań liniowych ?
Można też czynnikiem całkującym sprowadzić do zupełnego
Podstawienie które stosuje się do równania jednorodnego zadziała tylko dlatego że
\(\displaystyle{ \frac{t}{x}}\) z części jednorodnej równania liniowego zredukuje się z tym co dostaniemy po podstawieniu
Można też czynnikiem całkującym sprowadzić do zupełnego
Podstawienie które stosuje się do równania jednorodnego zadziała tylko dlatego że
\(\displaystyle{ \frac{t}{x}}\) z części jednorodnej równania liniowego zredukuje się z tym co dostaniemy po podstawieniu
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Trzy równania różniczkowe
mariuszm, autorce chodziło raczej o zamianę \(\displaystyle{ x'}\) na \(\displaystyle{ t'}\)
Zwykle jest tak, że jak \(\displaystyle{ x}\) zależy od \(\displaystyle{ t}\), to równie dobrze można napisać, że \(\displaystyle{ t}\) zależy od \(\displaystyle{ x}\). Poczytaj sobie o funkcji odwrotnej i jej pochodnej. To właśnie zastosował mariuszm w swoim rozwiązaniu
Zwykle jest tak, że jak \(\displaystyle{ x}\) zależy od \(\displaystyle{ t}\), to równie dobrze można napisać, że \(\displaystyle{ t}\) zależy od \(\displaystyle{ x}\). Poczytaj sobie o funkcji odwrotnej i jej pochodnej. To właśnie zastosował mariuszm w swoim rozwiązaniu