Trzy równania różniczkowe

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 22 mar 2015, o 11:12

Mam problem z rozwiązaniem następujących równań:
\(\displaystyle{ 1. (2t-x^2)x'=2x}\)
\(\displaystyle{ 2. x'= \frac{t-x } {t+x}}\)
\(\displaystyle{ 3. x'=(t-x )^2 +1}\)

W 2. zastosowałam postawienie \(\displaystyle{ z=\frac{y} {x}}\) ale otrzymałam na koniec:
\(\displaystyle{ -x^2-2xt +x^2=c}\)
i nie wiem jak wyliczyć stąd x.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 22 mar 2015, o 11:47

xxmonikaxx pisze:
W 2. zastosowałam postawienie \(\displaystyle{ z=\frac{y} {x}}\) ale otrzymałam na koniec:
\(\displaystyle{ -x^2-2xt +x^2=c}\)
i nie wiem jak wyliczyć stąd x.

\(\displaystyle{ -x^2+x^2=?}\)

W 2) \(\displaystyle{ t-x=z}\)

W 1) \(\displaystyle{ z=2t-x^2}\) i potem podobnie jak w 2)

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 22 mar 2015, o 11:56

W 3. to zamiast ostatniego \(\displaystyle{ x^2}\) to jest\(\displaystyle{ t^2}\) źle napisałam to co otrzymałam na koniec...
Co do drugiego to mógłbyś napisać jak wygląda równanie po postawieniu bo mi jakieś głupoty wychodzą...

a4karo · Post autor: **a4karo** » 22 mar 2015, o 12:10

S-ry. Podstawienie \(\displaystyle{ z=1-t}\) stosuje się w 3)

W 2) oczywiście nie stosuj podstawienia\(\displaystyle{ z=y/x}\) tylko \(\displaystyle{ z=x/t}\). Przelicz, musi wyjść.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 22 mar 2015, o 12:55

\(\displaystyle{ 1. (2t-x^2)x'=2x\\
2t-x^2=2xt'\\
t'=\frac{t}{x}-\frac{x}{2}\\
t'-\frac{t}{x}=-\frac{x}{2}\\}\)

Równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu

\(\displaystyle{ t'-\frac{t}{x}=0\\
t'=\frac{t}{x}\\
\frac{t'}{t}=\frac{1}{x}\\
\frac{ \mbox{d}t}{t}= \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\ln{\left| t\right| } =\ln{\left| x\right| }+C\\
t=Cx\\
t\left( x\right)=C\left( x\right)x\\
C'\left( x\right)x+C\left( x\right)- \frac{1}{x} C\left( x\right)x=-\frac{x}{2}\\
C'\left( x\right)x=-\frac{x}{2}\\
C'\left( x\right)=-\frac{1}{2}\\
C\left( x\right)=-\frac{x}{2}+C_{1}\\
t\left( x\right)=\left(-\frac{x}{2}+C_{1} \right)x\\
t\left( x\right)=-\frac{x^2}{2}+C_{1}x\\}\)

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 22 mar 2015, o 15:40

Dziękuję za pomoc.
Tylko Mariusz nie rozumiem zamiany x' na t' w drugiej linijce...woo

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 22 mar 2015, o 20:09

\(\displaystyle{ (2t-x^2)x'=2x\\
(2t-x^2) \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}=2x\\
(2t-x^2) \mbox{d}x =2x \mbox{d}t\\
(2t-x^2)=2x \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }\\}\)

xxmonikaxx · Post autor: **xxmonikaxx** » 23 mar 2015, o 07:04

można tak zrobić? nigdy na zajęciach czegoś takiego nie robiliśmy...

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 mar 2015, o 11:04

xxmonikaxx, nie rozwiązywaliście równań liniowych ?
Można też czynnikiem całkującym sprowadzić do zupełnego
Podstawienie które stosuje się do równania jednorodnego zadziała tylko dlatego że
\(\displaystyle{ \frac{t}{x}}\) z części jednorodnej równania liniowego zredukuje się z tym co dostaniemy po podstawieniu

a4karo · Post autor: **a4karo** » 23 mar 2015, o 14:24

mariuszm, autorce chodziło raczej o zamianę \(\displaystyle{ x'}\) na \(\displaystyle{ t'}\)

Zwykle jest tak, że jak \(\displaystyle{ x}\) zależy od \(\displaystyle{ t}\), to równie dobrze można napisać, że \(\displaystyle{ t}\) zależy od \(\displaystyle{ x}\). Poczytaj sobie o funkcji odwrotnej i jej pochodnej. To właśnie zastosował mariuszm w swoim rozwiązaniu