Równanie różniczkowe zupełne

[pavel232]

Mam taki przykład \(\displaystyle{ (3y ^{2}-x)dx+(2y ^{3}-6xy)dy=0}\). Nie wiem jak to rozwiązać, korzystałem ze wzorów \(\displaystyle{ \frac{M _{y}-N _{x} }{N}= \frac{6}{y ^{2}-3x }}\) i \(\displaystyle{ - \frac{M _{y}-N _{x} }{M}= \frac{-12y}{3y ^{2}-x }}\) ale nie znalazłem czynnika całkującego zależnego od jednej zmiennej. Próbowałem pomnożyć przez \(\displaystyle{ x ^{p}y ^{q}}\), ale po przeliczeniu pochodnych \(\displaystyle{ M _{y},N _{x}}\) i porównaniu parametrów wychodziło mi p=0 i q=0.

[kerajs]

Jaki przewrotny tytuł tematu, bo nie jest to równanie typu różniczka zupełna. Z Twojego postu wynika że jest kłopot z czynnikiem całkującym. To może rozwiazać je tak:
\(\displaystyle{ y ^{'} = \frac{x-3y^2}{y(2y^2-6x)}}\)
\(\displaystyle{ yy ^{'} = \frac{x-3y^2}{2y^2-6x}}\)
\(\displaystyle{ yy ^{'} = \frac{1- 3\frac{y^2}{x}}{2\frac{y^2}{x}-6}}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{y^2}{x} \Rightarrow y^2=tx \Rightarrow 2yy'=t'x+t}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (t'x+t)= \frac{1-3t}{2t-6}}\)
co po kilku przekształceniach jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, z którym pewnie nie będziesz miał problemu.

Może można to równanie machnąć innaczej, ale to pierwsze co przyszło mi do głowy.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \mu\left(x,y\right)=\frac{1}{x^2-y^4}}\)

Pomysł użytkownika kerajs, jest dobry bo wygodniej jest liczyć jako jednorodne
(lub jak kto woli sprowadzalne do jednorodnego)

[kerajs]

@mariuszm

A ten czynnik całkujący wyliczyłeś, czy uzyskałeś z różniczki zupełnej rozwiązania równania jednorodnego ?
Jeśli to pierwsze, to mógłbyś pokazać co naprowadziło Cię na taką jego postać ?

[Mariusz M]

Czynnik całkujący wyliczyłem z podstawienia
Łatwo zauważyć że podstawienie \(\displaystyle{ x=u\\y^2=v}\)
sprowadzi do jednorodnego
Na jednorodne działa podstawienie \(\displaystyle{ y=ux}\)
i tak dochodzimy do twojego podstawienia

Jak podstawiać pokazał szw1710
254093.htm ,
Nie pokazał jednak tego dokładnie, tzn nie pokazał skąd wynika ten wzorek
Zamianę zmiennych w równaniu różniczkowym masz też u Nikliborca
Mając równanie o rozdzielonych zmiennych aby uzyskać czynnik całkujący wystarczy
podzielić je przez odpowiednie czynniki

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon25/mon2503.pdf

Способ вычисления интегрирующего множителя найдешь ещё у Матвеева

[kerajs]

Dzięki, będę musiał się trochę podciągnąć w tym temacie.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ (3y ^{2}-x)dx+(2y ^{3}-6xy)dy=0}\)

\(\displaystyle{ P\left( x,y\right)=3y^2-x\\Q\left( x,y\right)=2y^3-6xy \\
\begin{cases} x=\xi \\ \frac{y^2}{x}=\eta \end{cases} \\
\begin{cases} x=\xi \\ y=\sqrt{\eta}\sqrt{\xi} \end{cases} \\
P\left( \xi,\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}\right)=3\eta\xi-\xi\\
Q\left( \xi,\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}\right)=2\eta\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}-6\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}\\
\frac{ \partial x}{ \partial \xi}=1 \qquad \frac{ \partial x}{ \partial \eta}=0\\
\frac{\partial y}{\partial \xi}=\frac{\sqrt{\eta}}{2\sqrt{\xi}}\qquad \frac{\partial y}{\partial \eta}=\frac{\sqrt{\xi}}{2\sqrt{\eta}}\\
\left(3\eta\xi-\xi\right)\left[ 1 \cdot \frac{ \mbox{d}\xi }{ \mbox{d}t}+0 \cdot \frac{ \mbox{d}\eta}{ \mbox{d}t} \right]+\left( 2\eta\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}-6\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}\right)\left[ \frac{ \sqrt{\eta} }{2\sqrt{\xi}}\cdot\frac{ \mbox{d}\xi}{\mbox{d}t}+\frac{ \sqrt{\xi} }{2\sqrt{\eta}} \cdot \frac{ \mbox{d}\eta}{\mbox{d}t} \right]=0\\
\left[ \left( 3\eta\xi-\xi\right)+\left( 2\eta\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}-6\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}\right)\cdot\frac{\sqrt{\eta}}{2\sqrt{\xi}} \right]\cdot\frac{\mbox{d}\xi}{\mbox{d}t}+\right[\left(2\eta\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi}-6\xi\sqrt{\eta}\sqrt{\xi} \right)\cdot\frac{\sqrt{\xi}}{2\sqrt{\eta}}\right]\cdot\frac{\mbox{d}\eta}{ \mbox{d}t}=0\\
\left( 3\eta\xi-\xi+\eta^2\xi-3\xi\eta\right)\frac{\mbox{d}\xi}{ \mbox{d}t}+\left( \eta\xi^2-3\xi^2\right)\frac{ \mbox{d}\eta}{ \mbox{d}t}=0\\
\left( -\xi+\eta^2\xi\right) \frac{ \mbox{d}\xi }{ \mbox{d}t}+\left( \eta\xi^2-3\xi^2\right)\frac{ \mbox{d}\eta}{ \mbox{d}t}=0\\
\xi\left(\eta^2-1 \right) \mbox{d}\xi+\xi^2\left(\eta-3 \right) \mbox{d}\eta=0}\)

Jeżeli pomnożymy to równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\eta^2-1} \cdot \frac{1}{\xi^2}}\)
to obydwie pochodne cząstkowe się nam wyzerują a ponieważ po drodze nie wykonywaliśmy żadnych mnożeń więc czynnikiem całkującym będzię \(\displaystyle{ \mu\left( \xi,\eta\right)=\frac{1}{\xi^2\left(\eta^2-1\right)}}\)
Po powrocie do poprzednich zmiennych otrzymamy czynnik który wcześniej napisałem

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ (3y ^{2}-x)dx+(2y ^{3}-6xy)dy=0}\)

Gdy zastosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x=u-y^2}\)
to znacznie łatwiej będzie znaleźć czynnik całkujący

Trochę dziwne jest że nie podali postaci czynnika całkującego skoro zasugerowali ten typ równania
tym bardziej że Kerajs pokazał że można to równanie rozwiązywać inaczej

\(\displaystyle{ \left( 3y^{2}-x\right) \frac{ \dd x }{ \dd y} + \left( 2y^{3}-6xy\right) =0\\
x=u-y^{2}\\
x'=u'-2y\\
\left( 3y^{2}-\left(u-y^{2} \right) \right) \left(u'-2y \right)+\left( 2y^3-6\left( u-y^{2}\right)y \right) =0\\
\left( 4y^{2}-u\right)\left(u'-2y \right)+\left( 8y^3-6uy\right)=0\\
\left( 4y^{2}-u\right)u'-8y^{3}+2uy+8y^3-6uy=0\\
\left( 4y^{2}-u\right)u'-4uy=0\\
}\)

\(\displaystyle{ \left( 4y^{2}-u\right)u'-4uy=0\\
P\left( u,y\right) = 4y^{2}-u\\
Q\left( u,y\right) = -4uy\\
\frac{ \partial P}{ \partial y} =8y
\frac{ \partial Q}{ \partial u} = -4y
\frac{ \partial P}{ \partial y} \neq \frac{ \partial Q}{ \partial u}
\frac{1}{Q\left( u,y\right) } \left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial u}\right) =-\frac{1}{4uy}\left( 8y-\left( -4y\right) \right) \\
\frac{1}{Q\left( u,y\right) } \left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial u}\right) =-\frac{1}{4uy}\cdot 12y\\
\frac{1}{Q\left( u,y\right) } \left( \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial u}\right) =-\frac{3}{u}\\
\frac{ \dd \mu}{\mu}=-\frac{3}{u} \dd u\\
ln{\left| \mu\right| }=-3\ln{\left| u\right| }\\
ln{\left| \mu\right| }=\ln{\left| u^{-3}\right| }\\
\mu=\frac{1}{u^{3}}\\
}\)

\(\displaystyle{
\left( 3y^{2}-x\right) \dd x + \left( 2y^{3}-6xy\right) \dd y =0\\
\mu\left( x,y\right) =\frac{1}{\left( x+y^{2}\right)^{3} }\\
\frac{3y^{2}-x}{\left( x+y^{2}\right)^{3}} \dd x + \frac{2y^{3}-6xy}{\left( x+y^{2}\right)^{3}} \dd y=0\\
P\left( x,y\right) = \frac{3y^{2}-x}{\left( x+y^{2}\right)^{3}} \\
Q\left( x,y\right) = \frac{2y^{3}-6xy}{\left( x+y^{2}\right)^{3}} \\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=\frac{6y\left( x+y^{2}\right)^{3}-6y\left( 3y^{2}-x\right)\left( x+y^{2}\right)^{2} }{\left( x+y^{2}\right)^{6} } \\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=\frac{6y\left( x+y^{2}\right)-6y\left( 3y^{2}-x\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{4} } \\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=\frac{12y\left( x-y^{2}\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{4}}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x} =\frac{-6y\left( x+y^2\right)^{3}-3\left( 2y^{3}-6xy\right)\left( x+y^{2}\right)^{2} }{\left( x+y^{2}\right)^{6}}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x} =\frac{-6y\left( x+y^{2}\right)-6y\left( y^{2}-3x\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{4}}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x} =\frac{12y \left( x-y^{2}\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{4}}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\\
\begin{cases} \frac{ \partial F}{ \partial x}= \frac{3y^{2}-x}{\left( x+y^{2}\right)^{3}} \\ \frac{ \partial F}{ \partial y} = \frac{2y^{3}-6xy}{\left( x+y^{2}\right)^{3}} \end{cases} \\
\frac{ \partial F}{ \partial x}= \frac{3y^{2}-x}{\left( x+y^{2}\right)^{3}}\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}= \frac{4y^{2}-\left( x+y^{2}\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{3}}\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=\frac{4y^2}{\left( x+y^{2}\right)^{3}}- \frac{1}{\left( x+y^{2}\right)^{2}} \\
F\left( x,y\right) = \frac{-2y^2}{\left( x+y^{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\left( x+y^{2}\right)}+g\left( y\right) \\
F\left( x,y\right) =\frac{x-y^2}{\left( x+y^{2}\right)^{2}}+g\left( y\right)\\
\frac{ \partial F}{ \partial y} =\frac{-2y\left( x+y^{2}\right)^{2}-4y\left( x-y^2\right)\left( x+y^2\right) }{\left( x+y^2\right)^{4}}+g'\left( y\right) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y} =\frac{-2y\left( x+y^{2}\right)-4y\left( x-y^2\right)}{\left( x+y^2\right)^{3}}+g'\left( y\right)\\
\frac{ \partial F}{ \partial y} =\frac{-2y\left( x+y^{2}+2x-2y^{2}\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{3} }+g'\left( y\right)\\
\frac{ \partial F}{ \partial y} =\frac{2y\left( y^{2}-3x\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{3}}+g'\left( y\right)\\
\frac{ \partial F}{ \partial y}=Q\left( x,y\right) \\
\frac{2y\left( y^{2}-3x\right) }{\left( x+y^{2}\right)^{3}}+g'\left( y\right)=\frac{2y^{3}-6xy}{\left( x+y^{2}\right)^{3}}\\
g'\left( y\right)=0\\
F\left( x,y\right)=\frac{x-y^2}{\left( x+y^{2}\right)^{2}}\\
}\)

\(\displaystyle{ \frac{x-y^2}{\left( x+y^{2}\right)^{2}}=C}\)
jest rozwiązaniem tego równania w postaci uwikłanej


Znając postać czynnika całkującego można też go znaleźć bez podstawienia
Załóżmy że
\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=\Phi\left( \omega\left( x,y\right) \right) }\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right) }{ \partial y}=\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right) }{ \partial x}\\
\frac{ \partial \mu}{ \partial y}P+\mu \frac{ \partial P}{ \partial y} = \frac{ \partial \mu}{ \partial x}Q+\mu \frac{ \partial Q}{ \partial x} \\
\mu \frac{ \partial P}{ \partial y}-\mu \frac{ \partial Q}{ \partial x}=\frac{ \partial \mu}{ \partial x}Q- \frac{ \partial \mu}{ \partial y}P\\
\mu \left( \frac{ \partial P}{ \partial y} - \frac{ \partial Q}{ \partial x}\right) = \frac{ \partial \mu}{ \partial x}Q- \frac{ \partial \mu}{ \partial y}P\\
\mu \left( \frac{ \partial P}{ \partial y} - \frac{ \partial Q}{ \partial x}\right) = \frac{\partial \mu}{\partial \omega} \cdot \frac{\partial \omega}{\partial x}Q- \frac{\partial \mu}{\partial \omega} \cdot \frac{\partial \omega}{\partial y}P \\
\mu \left( \frac{ \partial P}{ \partial y} - \frac{ \partial Q}{ \partial x}\right) = \frac{\partial \mu}{\partial \omega} \left(\frac{\partial \omega}{\partial x}Q- \frac{\partial \omega}{\partial y}P\right) \\
\frac{ \partial \mu}{ \partial \omega} \cdot \frac{1}{\mu} = \frac{ \frac{ \partial P}{ \partial y} - \frac{ \partial Q}{ \partial x}}{\frac{\partial \omega}{\partial x}Q- \frac{\partial \omega}{\partial y}P} \\
\frac{ \frac{ \partial P}{ \partial y} - \frac{ \partial Q}{ \partial x}}{\frac{\partial \omega}{\partial x}Q- \frac{\partial \omega}{\partial y}P}=\varphi\left( \omega\right) \\
\frac{ \dd \mu}{\mu} = \varphi\left( \omega\right) \dd \omega\\
}\)

Tutaj znalazłem dwa czynniki całkujące

\(\displaystyle{ \mu_{1}\left( x,y\right)=\Phi\left( x+y^2\right) \\
\mu_{1}\left( x,y\right)=\Phi\left( x^2-y^4\right)
}\)