Matematyka.pl

Zadanie:
Termometr pokojowy, który wskazywał temperaturę \(\displaystyle{ 25^\circ C}\), wystawiono za okno. Po \(\displaystyle{ 5}\) minutach temperatura na termometrze spadła do \(\displaystyle{ 20^\circ C}\), a po kolejnych \(\displaystyle{ 5}\) minutach do \(\displaystyle{ 17^\circ C}\). Jaka jest rzeczywista temperatura za oknem?

Rozwiązanie:
Wiem, że:

• \(\displaystyle{ S(0)=25}\)
• \(\displaystyle{ S(5)=20}\)
• \(\displaystyle{ S(10)=17}\)

Ale jak stąd wyciągnąć \(\displaystyle{ t_{\mbox{otoczenia}}}\)?

Równanie to chyba \(\displaystyle{ S'(t)-kS(t)=-kt_{\mbox{otoczenia}}}\), ale dalej nie wiem co z tym zrobić...

Proponuję rozwiązać równanie różniczkowe. Wynik to funkcja postaci \(\displaystyle{ S(t)=Ae^{-kt}+B}\). Można podstawić dane i rozwiązać układ równań.

W tym przypadku \(\displaystyle{ B}\) to dokładnie nasze \(\displaystyle{ t_\mbox{otoczenia}}\). Dzięki .

Wyszło \(\displaystyle{ 12,5\circ\, C}\) (\(\displaystyle{ e^{5k}=\frac35}\), gdyż przypadek \(\displaystyle{ e^{5k}=1}\) implikuje \(\displaystyle{ k=0}\), co powoduje, że układ równań jest sprzeczny).

Zgodnie z prawem stygnięcia Newtona, szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała\(\displaystyle{ T}\) w danej chwili \(\displaystyle{ t}\) i temperatury otoczenia \(\displaystyle{ T_{ot}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt} = -k( T - T_{ot}), k >0.}\) (1)

Znak minus występuje dlatego, że pochodna musi być ujemna dla \(\displaystyle{ T>T_{ot}}\) (temperatura ciała spada).

Równanie (1) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

\(\displaystyle{ T(t) = T_{ot} + [ T(0) - T_{ot}]e^{-kt}.}\) (2)

Podstawiając do równania (2) warunek początkowy:

\(\displaystyle{ T(0) = 25^{o}C}\)

oraz warunki brzegowe:

\(\displaystyle{ T(5) = 20^{o}C ,\ \ T (10) = 17^{o}C,}\)

proszę wyznaczyć wartość stałej stygnięcia \(\displaystyle{ k}\) i temperatury otoczenia \(\displaystyle{ T_{ot}.}\)