Zadanie:
Termometr pokojowy, który wskazywał temperaturę \(\displaystyle{ 25^\circ C}\), wystawiono za okno. Po \(\displaystyle{ 5}\) minutach temperatura na termometrze spadła do \(\displaystyle{ 20^\circ C}\), a po kolejnych \(\displaystyle{ 5}\) minutach do \(\displaystyle{ 17^\circ C}\). Jaka jest rzeczywista temperatura za oknem?
Rozwiązanie:
Wiem, że:
\(\displaystyle{ S(0)=25}\)
\(\displaystyle{ S(5)=20}\)
\(\displaystyle{ S(10)=17}\)
Ale jak stąd wyciągnąć \(\displaystyle{ t_{\mbox{otoczenia}}}\)?
Równanie to chyba \(\displaystyle{ S'(t)-kS(t)=-kt_{\mbox{otoczenia}}}\), ale dalej nie wiem co z tym zrobić...
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2018, o 13:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
W tym przypadku \(\displaystyle{ B}\) to dokładnie nasze \(\displaystyle{ t_\mbox{otoczenia}}\). Dzięki .
Wyszło \(\displaystyle{ 12,5\circ\, C}\) (\(\displaystyle{ e^{5k}=\frac35}\), gdyż przypadek \(\displaystyle{ e^{5k}=1}\) implikuje \(\displaystyle{ k=0}\), co powoduje, że układ równań jest sprzeczny).
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2018, o 13:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Zgodnie z prawem stygnięcia Newtona, szybkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała\(\displaystyle{ T}\) w danej chwili \(\displaystyle{ t}\) i temperatury otoczenia \(\displaystyle{ T_{ot}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt} = -k( T - T_{ot}), k >0.}\) (1)
Znak minus występuje dlatego, że pochodna musi być ujemna dla \(\displaystyle{ T>T_{ot}}\) (temperatura ciała spada).
Równanie (1) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.