Równanie różniczkowe zupełne z warunkiem początkowym

[loonatic]

Nie wiem jak i gdzie należy skorzystać z tego warunku początkowego \(\displaystyle{ y(0)=2}\)... Czy jest jakaś metoda pozwalająca na użycie warunku początkowego w ciągu rozwiązania zamiast podstawiania na końcu?

Zadanie:
Rozwiąż \(\displaystyle{ \cos x\sin x - xy^2 \mbox{d}x + y(1-x^2) \mbox{d}y =0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(0)=2}\).

Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy zupełne: \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left( \cos x\sin x-xy^2\right) = -2xy = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left( y(1-x^2)\right)}\): ok.
\(\displaystyle{ \Phi(x,y)= \int \cos x\sin x - xy^2\mbox{d}x = \frac{1}{2}\left( \sin^2x-y^2x^2\right) + h(y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\Phi(x,y)}{\mbox{d}x}=h'(y)-yx^2}\)
Porównujemy z tym przy dy:
\(\displaystyle{ h'(y)-yx^2=y(1-x^2)}\)
\(\displaystyle{ h'(y)=y}\), więc \(\displaystyle{ h(y)= \frac{y^2}{2}+c_h}\)
\(\displaystyle{ \Phi(x,y)= \frac{1}{2}\left( \sin^2x-y^2x^2+y^2\right)+c}\)
i co dalej ...? Gdzie tu wstawić ten warunek początkowy?

[szw1710]

Właśnie do tej końcowej postaci. Dla \(\displaystyle{ x=0}\) bierzemy \(\displaystyle{ y=\dots}\).

[loonatic]

\(\displaystyle{ \Phi(0,2)=\frac{1}{2}\left( \sin^2 0-2^2\cdot 0^2+2^2\right)+c=2+c}\)
Ale wtedy wychodzi liczba (i to nie znana), a chyba powinno dalej być równanie...?
Czy może tego c tam po prostu ma nie być i ma wyjść tylko liczba?

[Pijarek]

Różniczkę zupełną masz z postaci
\(\displaystyle{ \Phi (x,y)=0}\)

co dla warunku początkowego daje c=-2

[yorgin]

\(\displaystyle{ \Phi(x,y)= \frac{1}{2}\left( \sin^2x-y^2x^2+y^2\right)+c}\)
i co dalej ...? Gdzie tu wstawić ten warunek początkowy?

To jest klasyczny błąd. Funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) nie jest rozwiązaniem Twojego równania różniczkowego. Szukasz funkcji jednej zmiennej opisującej pewną krzywą w przestrzeni, a \(\displaystyle{ \Phi}\) jest jest funkcją dwóch zmiennych opisującą pewną powierzchnię.

Zasada jest prosta. Jeżeli \(\displaystyle{ \Phi(x,y)}\) jest pierwotną

\(\displaystyle{ P(x,y)\dd x+Q(x,y)\dd y}\),

to rozwiązaniem równania

\(\displaystyle{ P(x,y)\dd x+Q(x,y)\DD y=0}\)

jest rodzina krzywych parametryzowanych

\(\displaystyle{ \Phi(x,y)=C}\),

gdzie \(\displaystyle{ C}\) przebiega taki zakres, dla jakiego wyrażenie po lewej stronie ma sens. Zapis rozwiązania ma nagle sens, gdyż jest to ni mniej ni więcej uwikłana postać funkcji \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ x}\) zależnie od tego, co przyjmujesz za argument, co za wartość.

[loonatic]

Dzięki .
Tak więc ostatecznie rozwiązaniem jest krzywa \(\displaystyle{ 2=\frac{1}{2}\left( \sin^2x-y^2x^2+y^2\right)}\), bo nie jesteśmy w stanie podać gotowego przepisu na x=... lub y=..., bo to nie jest funkcja.