Niech szybkość przyrostu liczby ludności będzie proporcjonalna do wielkości populacji. Wyznacz zależność między liczbą ludności
a czasem\(\displaystyle{ t}\), jeśli wiadomo, że w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) wynosiła ona \(\displaystyle{ N_0}\), natomiast po roku zwiększyła się o \(\displaystyle{ r \%}\). Uwzględniając powyższe założenia,
oblicz liczbę mieszkańców Polski dnia 1 stycznia 2030 roku, jeśli wiadomo, że 1 stycznia 2010 roku wynosiła ona 38.5 mln, a roczny
przyrost w roku 2009 wynosił 6 promili. Oblicz przypuszczalną liczbę mieszkańców Warszawy dnia 1 stycznia 2030 roku, jeśli wiadomo,
że 1 stycznia roku wynosiła ona 1.7 mln, a roczny przyrost w roku 2009 wynosił 4 promile.
Tutaj trzeba chyba skorzystać z modelu Malthusa, ale nie wiem jak się za to zabrać
Zastosowanie równań różniczkowych
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 27 gru 2011, o 16:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Zastosowanie równań różniczkowych
\(\displaystyle{ N(t)}\) -wielkość populacji w czasie \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ N(0)=N_0}\)
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ \dot N = p N}\)
Łatwo rozwiązujemy równanie: (\(\displaystyle{ N \neq 0}\)):
\(\displaystyle{ N(t)=N_0 e^{pt}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ t}\) oznacza lata.
Wtedy:
\(\displaystyle{ N(1) = (1+ \frac{r}{100})N_0}\)
\(\displaystyle{ N_0 e^p = (1+ \frac{r}{100})N_0}\)
\(\displaystyle{ p = \ln (1+ \frac{r}{100})}\)
\(\displaystyle{ N(t)=N_0 (1+ \frac{r}{100})^t}\)
Dalej już chyba bardzo łatwo.
\(\displaystyle{ N(0)=N_0}\)
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ \dot N = p N}\)
Łatwo rozwiązujemy równanie: (\(\displaystyle{ N \neq 0}\)):
\(\displaystyle{ N(t)=N_0 e^{pt}}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ t}\) oznacza lata.
Wtedy:
\(\displaystyle{ N(1) = (1+ \frac{r}{100})N_0}\)
\(\displaystyle{ N_0 e^p = (1+ \frac{r}{100})N_0}\)
\(\displaystyle{ p = \ln (1+ \frac{r}{100})}\)
\(\displaystyle{ N(t)=N_0 (1+ \frac{r}{100})^t}\)
Dalej już chyba bardzo łatwo.