Równanie Riccatiego

[Kelgar]

Mam problem z równaniem Riccatiego.
\(\displaystyle{ y'=- y^{2}+ \frac{2}{ x^{2} }}\) R. szczególne ma postać \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x}}\)

Więc wstawiłem sobie do równania wyjściowego \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x}}\) i otrzymałem a=2 v a=3

Przyjąłem więc, że \(\displaystyle{ y= \frac{2}{x}}\)

Następnie wstawiłem nową zmienną :
1. \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x} + \frac{1}{u}}\) ---------> \(\displaystyle{ y= \frac{2}{x} + \frac{1}{u}}\)
2. policzyłem pochodną \(\displaystyle{ y'= -\frac{2}{x ^{2} }+ \frac{1}{ u^{2} } *u'}\)
3. Wstawiłem do równania wyjściowego i po skróceniu otrzymałem coś takiego :
\(\displaystyle{ u'= \frac{4u ^{2} }{x ^{2} } - \frac{4u}{x} +1}\)

I tu mam problem, bo nie za bardzo wiem co z tym zrobić... Powinno wyjść liniowe, ale na takie nie wygląda :/

Bardzo prosze o pomoc

[frej]

Źle wstawiłeś do równania.

[Kelgar]

1.\(\displaystyle{ - \frac{2}{ x^{2} } + \frac{1}{ u^{2} } *u'= -( \frac{2}{x} + \frac{1}{u} ) ^{2} + \frac{2}{ x^{2} }}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{1}{ u^{2} } *u'= -( \frac{2}{x} + \frac{1}{u} ) ^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ \frac{1}{ u^{2} } *u'= -( \frac{4}{ x^{2} } - \frac{4}{xu}+ \frac{1}{ u^{2} })}\)

Tak robiłem

[frej]

Złe jest przejście od 1 do 2.

[Kelgar]

Kurcze to nie wiem jak to zrobić :/
Możesz mnie naprowadzić co jest źle? Czy w ogóle coś źle robię, czy jest jakiś błąd rachunkowy?

[frej]

Błąd rachunkowy, schemat robienia tego zadania jest poprawny.
\(\displaystyle{ -\frac{2}{x^2}+\frac{u'}{u^2}=-\left(\frac{4}{x^2}+\frac{4}{xu}+\frac{1}{u^2} \right)+\frac{2}{x^2} = -\frac{2}{x^2}-\frac{4}{xu}-\frac{1}{u^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{u'}{u^2}--\frac{4}{xu}-\frac{1}{u^2}}\)
\(\displaystyle{ u'=-4\frac{u}{x}-1}\)

[Kelgar]

Faktycznie, liczyłem 3 razy, za każdym razem ten sam błąd.
Dziękuję bardzo