rozwiązać równanie różniczkowe

[Mariusz M]

Czy jeżeli dałeś postawienie \(\displaystyle{ x=x_{1}+fg\\}\)
czy jest różnica jeśli dam \(\displaystyle{ x=x_{1}+ \frac{1}{u}}\) tak jak np tu ... n/ror7.htm
??


(gdzie jak rozumiem \(\displaystyle{ x_{1}}\) to całka szczególna rów. Riccatiego \(\displaystyle{ x(y)=- \frac{2yw'}{w} -y}\) ??)

-- 31 mar 2014, o 11:02 --

1.i czemu przy przejściu 5 -> 6 linijka : jakby 'zniknęło' - zbrakło w 6 linijce \(\displaystyle{ x_{1}=p(x_{1})^{2}+qx_{1}+r}\) ?:D

2. w linijce 9 . Założyłeś, że \(\displaystyle{ -g'+2x_{1}pg+qg=0}\) czy to też po to aby wyeliminować wyraz ?
czy się wzięło z innego powodu ?[/quote]




Podstawienie \(\displaystyle{ x=x_{1}+fg}\)
pozwoli pogrupować równanie i dwukrotnie rozdzielić zmienne
Podstawienie \(\displaystyle{ x=x_{1}+ \frac{1}{u}}\)
pozwoli sprowadzić równanie do liniowego pierwszego rzędu


\(\displaystyle{ x(y)=- \frac{2yw'}{w} -y}\)

To jest właśnie całka szczególna równania Riccatiego
\(\displaystyle{ \left( x+y\right)^2-2yx^{\prime}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}}\) też oznacza całkę szczególną równania Riccatiego
Niejednoznaczność zapisu z mojej strony ale to może dlatego że dopiero po rozwiązaniu
zorientowałem się że to tylko całka szczególna (spodziewałem się dostać całkę ogólną)



1. Zniknęło bo \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest całką szczególną równania Riccatiego
2. To założenie jest po to aby móc wyznaczyć f rozdzielając zmienne

[kamiolka28]

Czyli w sumie teraz muszę podstawić wyjściowe równanie do tego \(\displaystyle{ x=x_{1}-(wielki ulamek z calkami)}\) ? I już będzie wynik ?
Bo nie bardzo wiem czym będzie p i q w tych całkach.

Ps. Czy na pewno szeregami jest to dobrze zrobione ??

[Mariusz M]

Czyli w sumie teraz muszę podstawić wyjściowe równanie do tego \(\displaystyle{ x=x_{1}-(wielki ulamek z calkami)}\) ? I już będzie wynik ?
Bo nie bardzo wiem czym będzie p i q w tych całkach.

Ps. Czy na pewno szeregami jest to dobrze zrobione ??

Tak całka ogólna to będzie \(\displaystyle{ x=x_{1}-(wielki ulamek z calkami)}\)

Czym jest p i q ?

\(\displaystyle{ x^{\prime}=\frac{1}{2y}x^{2}+x+\frac{1}{2}y}\)

więc \(\displaystyle{ p=\frac{1}{2y}\\q=1}\)

Ps. Czy na pewno szeregami jest to dobrze zrobione ??

Wg takich programów jak Maple całka szczególna jest dobrze policzona
Gdy wstawiłem całkę ogólną do równania Maple nie poradził sobie z uproszczeniem tego do zera
Poczytaj sobie trochę o równaniu Bessela


Jak chcesz miec funkcje \(\displaystyle{ y\left( x\right)}\) to otrzymane funkcje musisz jeszcze odwrócić


Jeśli chcesz to mogę dać ci parę równań Riccatiego do samodzielnego rozwiązania

[kamiolka28]

To chętnie przygarnę te równania
jak masz do nich odp czy rozwiązania to się nie obrażę
poćwiczę ;P

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ u^{\prime}=-u^2-\frac{1}{2}xu+1\\
u^{\prime}=-u^2+\frac{x}{1-x^2}u-9\\
u^{\prime}=-u^{2}+\frac{x^2}{4}+x-\frac{1}{2}\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{4x}{2x+1}u+\frac{4}{2x+1}\\
u^{\prime}=-u^2+\frac{2}{x}u-1-\frac{2}{x^2}\\
u^{\prime}=-u^2+\frac{4}{x}u+1-\frac{6}{x^2}\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{4x}{1+x^2}u+\frac{2}{1+x^2}\\
u^{\prime}=-u^2-2u-1+\frac{2}{x^2}\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{1}{x}u-1\\
u^{\prime}=-u^2+\frac{1}{x}u+4x^2\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{x}{1+x^2}u-\frac{1}{1+x^2}\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{2}{x}u+\frac{2}{x^2\left( 1-x^2\right) }\\
u^{\prime}=-u^2+u-e^{4x}\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{1}{2x}u-\frac{1}{2}\\
u^{\prime}=-u^2-\frac{\ln^{2}{\left| x\right| }}{x^2}}\)

Do większości równań mógłbym podać rozwiązania ,
najpierw spróbuj sama