Równanie różniczkowe - czynnik całkujący

[aqlec]

Wyznaczyć czynnik całkujący i rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ (3tx+x^2)dt+(3tx+x^4)dx=0 \ \ \mu= \mu(t+x)}\)

Nie wiem co mam zrobić z tą zalezności \(\displaystyle{ \mu}\) dlatego nie wiem jak to rozwiązać.

[yorgin]

Niech \(\displaystyle{ A=(3tx+x^2), B=(3tx+x^4)}\). Niech \(\displaystyle{ \mu=\mu(x+t)}\) oraz \(\displaystyle{ P=A\mu, Q=B\mu}\).

Aby równanie było zupełne, musi być spełniony warunek

\(\displaystyle{ \pfrac{P}{x}=\pfrac{Q}{t}}\)

Po przeliczeniach wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{\frac{d\mu}{ds}}{\mu}=\frac{x-3t}{x^2-x^4}}\)

gdzie \(\displaystyle{ s=x+t}\). Prawa strona powyższej równości nie przypomina mi funkcji zmiennej \(\displaystyle{ x+t}\), więc nie widzę tutaj specjalnie czynnika całkującego żądanej postaci. No chyba że Ty potrafisz to przekształcić.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ (3tx+x^2)dt+(3tx+x^4)dx=0 \ \ \mu= \mu(t+x)}\)

Skoro masz szukac czynnika całkującego tej postaci to możesz też dokonac zamiany zmiennych

\(\displaystyle{ \begin{cases} \xi=t+x \\ \nu=x \end{cases}\\
\begin{cases} t=\xi-\nu \\ x=\nu \end{cases}}\)

i szukac czynnika zależnego od jednej zmiennej

U Nikliborca masz trochę o tym napisane

[Mariusz M]

Jeżeli trudno znaleźć czynnik całkujący to może spróbować rozwiązać innym sposobem

\(\displaystyle{ (3tx+x^2)dt+(3tx+x^4)dx=0\\
\left( 3tx+x^2\right) \frac{ \dd t }{ \dd x} +\left( 3tx+x^4\right) =0\\
\left( 3t+x\right) \frac{ \dd t }{ \dd x} +\left( 3t+x^3\right)=0\\
3t+x=\frac{1}{u\left( x\right) }\\
3t'+1=-\frac{u'}{u^2}\\
-\frac{1}{3u}\left( 1+\frac{u'}{u^2}\right) +\left( \frac{1}{u}+x^3-x\right) =0\\
-\frac{1}{3u}-\frac{u'}{3u^3}+ \frac{1}{u}+\left(x^3-x \right) =0\\
-\frac{u'}{3u^3}+\frac{2}{3u}+\left( x^3-x\right)=0\\
u' -2u^2-\left( 3x^3-3x\right)u^3=0\\
u'= \left( 3x^3-3x\right)u^3+2u^2\\
}\)

Teraz programy takie jak Maple rozpoznają typ równania jako równanie Abela