Równania różniczkowe jednorodne, zmienne rozdzielone

[Kargo]

Witam. Uczę się Równań różniczkowych do sesji poprawkowej, ponieważ w semestrze kompletnie przespałem ten temat. Mam problem z tymi dwoma równaniami:
1) \(\displaystyle{ ( x^{2}+ y^{2})dx + ( x^{2}-xy)dy=0}\)
2) \(\displaystyle{ 2 x^{2}ydx=(3 x^{2}+ y^{2})dy}\)

W przykładzie 1) otrzymałem wynik \(\displaystyle{ e ^{- \frac{y}{x} } = Cx}\) , który mija sie z odpowiedzią. Jeżeli chodzi o przykład 2) to nie doszedłem do wyniku ponieważ wychodzą kompletnie porojone wartości. Zadanie rozwiązuje w ten sposób że przekształcam te równania abym miał związki \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) (to przychodzi dość racjonalnie i łatwo) później podstawienie \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\) itd.

Proszę kogoś o rozwiązanie w miarę krok po kroku tych równań. Z góry dziękuję bardzo

[Kamaz]

Proszę o zaprezentowanie własnych obliczeń. Wtedy łatwiej będzie pomóc.

[Mariusz M]

Jeżeli uda ci się prostymi przekształceniami otrzymać takie postaci równania

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x}=f\left( \frac{y}{x} \right) \\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= f\left( \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1} }{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}\right) \\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= \frac{y}{x}f\left( \frac{y}{x^ \alpha } \right)}\)

to równanie jest jednorodne


Pierwsze równanie jest dość łatwo rozwiązać , z tym drugim może być problem

W tym drugim równaniu przy dx masz wielomian trzeciego stopnia a przy dy wielomian drugiego stopnia
więc do pierwszej postaci raczej nie sprowadzisz

[Kargo]

Dziękuje za odzew. Mam pytanie bo może w tym tkwi błąd: nauczyłem się, że jak stosuję podstawienie \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\) to wyliczam \(\displaystyle{ y}\) i liczę pochodną która wygląda tak: \(\displaystyle{ y'= t'x+t}\) no i dalej sobie podstawiam za \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ y'}\). Zawsze stosując takie podstawienie jest taka pochodna? Ponieważ dostałem notatki znajomego, są te 2 przykłady, podstawienie \(\displaystyle{ y=t \cdot x}\) a pochodna wygląda tak: \(\displaystyle{ dy=t \cdot dx+dt \cdot x}\) i takie wyrażenie jest podstawione za \(\displaystyle{ dy}\). Wyniki dobre. Przyznam, że trochę pomieszało.

Edycja: Przepraszam nie wiem jak tego nie zauważyłem te pochodne są takie same

[Kamaz]

Zawsze stosując takie podstawienie jest taka pochodna?

Ze zdaniami imiesłowowymi proszę ostrożniej, ale zasadniczo ma Pan rację.

Ponieważ dostałem notatki znajomego, są te 2 przykłady, podstawienie \(\displaystyle{ y=t*x}\) a pochodna wygląda tak: \(\displaystyle{ dy=t*dx+dt*x}\) i takie wyrażenie jest podstawione za dy.

Rachunkowo to jest to samo. Osobiście wolę zapis z pochodnymi, ale to tylko moje prywatne zdanie.