Równanie do sprawdzenia

[myther]

Witam, mam takie zadanie i moje rozwiązywanie :

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2xy \cdot y' = \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}=2y'}\)

Tak sobie przekształciłem na początek.

Potem zeruje \(\displaystyle{ x ^{2}}\) i robie dalej:

\(\displaystyle{ ydx=2xydy= \frac{dy}{y}= \frac{2dx}{x}}\)
i mam z tego \(\displaystyle{ y=Ce ^{ \frac{\ln x}{2} }= C \cdot \sqrt{x}}\)
Pochodna: \(\displaystyle{ y'=D \sqrt{x}+C \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)

Podstawiam i tu zaczyna się problem (podstawiam sobie do tego 1 przekształcenia, które jest właśnie na ten cel).

Mam takie równanie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{C \sqrt{x} }+ \frac{C \sqrt{x} }{x}=2D \sqrt{x} + \frac{C \sqrt{x} }{x}}\)

Wychodzi mi na to, że stała C mi się nie skraca. W czym jest błąd?

[yorgin]

Witam, mam takie zadanie i moje rozwiązywanie :

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2xy *y' = \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}=2y'}\)

Z tego zapisu wynika, że \(\displaystyle{ 2xyy'=y'}\) oraz wiele innych bzdur.

Potem zeruje \(\displaystyle{ x ^{2}}\)

Co to znaczy?

\(\displaystyle{ ydx=2xydy= \frac{dy}{y}= \frac{2dx}{x}}\)

Pomijając zapis nijak się to ma do wyjściowego równania.

[myther]

AD1.Co jest złego w moim pierwszym przekształceniu? Dzieliłem przez \(\displaystyle{ xy}\) to \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2xy *y'}\)
AD2, Nie wiem jak się dokładnie nazywa takie liczenie w każdym razie chodzi mi o to że wybieram zmienną potem zeruję tą część gdzie jej nie ma i liczę dalej pierwszą zmienną, jej pochodną, wstawiam do równania i wyliczam stałą.
AD3. miało być \(\displaystyle{ y^2dx}\) po lewej stronie, dalej jak jest.

[yorgin]

AD1.Co jest złego w moim pierwszym przekształceniu? Dzieliłem przez \(\displaystyle{ xy}\) to \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2xy *y'}\)

To, że wypisujesz ciąg równości, co nie powinno mieć miejsca.

AD2, Nie wiem jak się dokładnie nazywa takie liczenie w każdym razie chodzi mi o to że wybieram zmienną potem zeruję tą część gdzie jej nie ma i liczę dalej pierwszą zmienną, jej pochodną, wstawiam do równania i wyliczam stałą.

A dlaczego można zerować? Mógłbyś napisać, że chodzi Ci o równanie jednorodne. Wtedy nie byłoby problemu.

i mam z tego \(\displaystyle{ y=Ce ^{ \frac{lnx}{2} }= C*\sqrt{x}}\)
Pochodna: \(\displaystyle{ y'=D \sqrt{x}+C* \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)

Pochodna raczej dobrze nie wygląda. Skąd \(\displaystyle{ D}\)?

Poza tym wszystkim skomplikowanym rozwiązaniem - po co na początku dzieliłeś przez \(\displaystyle{ xy}\) by potem nie skorzystać z oczywistego podstawienia \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\)?

P.S. Gwiazdka to nie jest symbol mnożenia. Jest nim kropka cdot

[myther]

po podstawieniu ma być \(\displaystyle{ u+u^{-1}= \frac{du}{dx}}\) ?

[yorgin]

Nie.

\(\displaystyle{ y' \neq u'}\) oraz gdzieś Ci znika \(\displaystyle{ 2}\).

[myther]

Ok to licze tak :

\(\displaystyle{ u= \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=ux}\)
Pochodna
\(\displaystyle{ y'=2u'+2x}\)
i równanie \(\displaystyle{ u+u^{-1}=2u'+2x}\)?

[yorgin]

Skąd dwójka przy różniczkowaniu? I źle różniczkujesz.-- 18 czerwca 2013, 13:14 --\(\displaystyle{ y'=u'x+u}\)