Równanie rózniczkowe Rulera.

[andsze1]

Znajdź całkę ogólną równania \(\displaystyle{ t ^{2}x''-3tx'+4x=0}\) wiedząc, że ma ono rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ x(t)=t ^{2}}\)
Robię to w ten sposób proszę o sprawdzenie.

\(\displaystyle{ t ^{2}x''-3tx'+4x=0}\)

\(\displaystyle{ r(r-1)-3r+4=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ r_o= \frac{4}{2}=2}\)
Moje rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ C_1t ^{2}+C_2t ^{2}ln(t)}\)

i teraz wydaje mi się, że mam podstawić za \(\displaystyle{ x=t ^{2}}\), a za \(\displaystyle{ t=0}\), ale nie jestem pewien.

[darlove]

Przez pierwiastki rownania charakterystycznego tego sie nie da rozwiazac, bo rownanie nie jest o stalych wspolczynnikach.

[andsze1]

czyli jak ma to zrobić ?-- 8 lut 2013, o 18:49 --a pierwsza część jest dobrze ? podobne przykłady mam rozwiązane w książce i jest dokładnie tak samo tylko nie wiem jak zrobić drugą część zadania.

[Mariusz M]

Skoro znasz całkę szczególną to możesz obniżyć rząd równania podstawieniem

\(\displaystyle{ x\left( t\right) =x_{1}\left( t\right)\int{u\left( t\right) \mbox{d}t}}\)

Równanie Eulera można sprowadzić do równania o stałych współczynnikach podstawieniem

\(\displaystyle{ t=e^{\tau}}\)

Równanie charakterystyczne wygląda na dobrze ułożone

[andsze1]

Właśnie metodę Eulera w książce mam nawet dosyć dobrze wytłumaczoną i właśnie we wszystkich przypadkach robią tam takie równanie charakterystyczne( nawet tam jest pokazane jak to zostało wyprowadzone) tylko właśnie nie ma nigdzie z całką szczególną.-- 8 lut 2013, o 22:06 --A to przy okazji, żeby nie zakładać nowego tematu może mi się trafić takie zadanie na egzaminie.

Zbadaj dla jakiego parametru "a" zerowe rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x ^{4}+ax'''+3x''+2x'+ax=0}\) jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Może ktoś podpowie jak takie zadanie przynajmniej zacząć, zawsze jakieś pkt będą.