Transformacja laplaca funkcji sin z PRZESUNIĘCIEM

[kbzium]

Dzień dobry,

mimo, że znam rozwiązanie większości przypadków transformacji laplaca, to jednak z tym konrketnym przypadkiem i innymi podobnymi nie jestem sobie w stanie dać rady:

\(\displaystyle{ Acos(2t+ \frac{ \pi }{4} )}\)

Jak to zapisać w postaci laplasjana?
Dodatkowo, jaki będzie wynik jeśli to przemnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{4(s+1)}{s+2}}\)?
Tam wychodzi coś w postaci (jeśli zamienimy znów na czasową) \(\displaystyle{ Acos(2t+arctg(B))}\). Nie wiem zupełnie skąd ten arcus tangens

Dziękuję!

[szw1710]

Zastosuj wzór na sinus sumy (\(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)}\)), a dostaniesz do stransformowania funkcje \(\displaystyle{ \sin 2t}\) i \(\displaystyle{ \cos 2t.}\) To już chyba umiesz. Skorzystaj z liniowości transformaty.

[kbzium]

I tak robiłęm od początku, ale jak dojść do arcusa tangensa na końcu zadania? (podana postać)

-- 10 wrz 2011, o 10:05 --

Ok weźmy przykład:

\(\displaystyle{ x(t)=cos\left( 2t+ \frac{ \pi }{4} \right)}\)
zamieniam na
\(\displaystyle{ A = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \left( cos2t-sin2t\right) \rightarrow \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{s-2}{s ^{2}+4 }}\)

Teraz muszę wykonać operację:
\(\displaystyle{ A \cdot 4 \cdot \frac{s+1}{s+2}}\)
z czego wychodzi mi po rozkładzie na ułamki proste wynik:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \left( cos2t-e ^{-2t} \right)}\)

I tutaj jest ów problem: jak i czy da się w ogóle (jeśli nie, to gdzie jest błąd) przekształcić to do postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt{A} \cdot cos(2t+arctg(B)+C)}\)

Dziękuję za poświęcenie czasu!-- 10 wrz 2011, o 22:13 --Nikt nie wie?