Równania różniczkowe - zadania z rozwiązaniami
: 7 wrz 2011, o 16:16
autor: luka52
Równania różniczkowe - zadania z rozwiązaniami
W niniejszym temacie zebrane zostały zadania z działu Równania Różniczkowe, które pojawiły się na naszym Forum i zostały rozwiązane lub niewiele do końcowego rozwiązania brakuje.
Inne tematy pomocne przy nauce rozwiązywanie równań różniczkowych:
- równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych
- równania różniczkowe liniowe
- Metoda uzmienniania stałych dla równań różniczkowych liniowych
- Metoda przewidywania dla równań różniczkowych liniowych
- Zastosowanie tranformaty Laplace'a
- Równania różniczkowe - metoda przewidywań
- Czynnik całkujący w równaniach różniczkowych.
I Równania różniczkowe liniowe I rzędu
1. Równania o zmiennych rozdzielonych
Lista zadań:
1.1. \(\displaystyle{ e^{y}\left(1+x^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-x\left(1+e^{y}\right)=0}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe
1.2. \(\displaystyle{ xy' + y(1-y)=0}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
1.3. \(\displaystyle{ x \cdot \frac{dy}{dx} - y = 1}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(1) =1}\)
Rozwiązanie - rownanie rozniczkowe
1.4. \(\displaystyle{ xy' =x\sin x\cdot y}\)
Rozwiązanie - równanka 1. i 2. stopien
1.5. \(\displaystyle{ y'=y-y^2}\)
Rozwiązanie - Całka szczególna
1.6. \(\displaystyle{ y' ( x^{2} + 1)=x (y-2)}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe sposób rozwiązania
1.7. \(\displaystyle{ \left(x-2xy-y^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y^2=0}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe Bernuliego
1.8. \(\displaystyle{ \sqrt{x} y'- y^{2}=1}\)
Rozwiązanie - Rozdzielić zmienne i scałkować równanie
1.9. \(\displaystyle{ xy'=y \ln \frac{y}{x}}\)
Rozwiązanie - Wyjaśnienie przykładu
1.10. \(\displaystyle{ e^{-y} (1+y')=1}\)
Rozwiązanie - metoda rozdzielania zmiennych
1.11. \(\displaystyle{ xy'+y=y^2}\)
Rozwiązanie - metoda rozdzielania zmiennych
1.12. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{xy} - \sqrt{x} \right) y' - y = 0}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
1.13. \(\displaystyle{ \left( y+xy \right) \mbox d x + \left( x-xy\right) \mbox d y = 0}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe
1.2. \(\displaystyle{ xy' + y(1-y)=0}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
1.3. \(\displaystyle{ x \cdot \frac{dy}{dx} - y = 1}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(1) =1}\)
Rozwiązanie - rownanie rozniczkowe
1.4. \(\displaystyle{ xy' =x\sin x\cdot y}\)
Rozwiązanie - równanka 1. i 2. stopien
1.5. \(\displaystyle{ y'=y-y^2}\)
Rozwiązanie - Całka szczególna
1.6. \(\displaystyle{ y' ( x^{2} + 1)=x (y-2)}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe sposób rozwiązania
1.7. \(\displaystyle{ \left(x-2xy-y^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y^2=0}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe Bernuliego
1.8. \(\displaystyle{ \sqrt{x} y'- y^{2}=1}\)
Rozwiązanie - Rozdzielić zmienne i scałkować równanie
1.9. \(\displaystyle{ xy'=y \ln \frac{y}{x}}\)
Rozwiązanie - Wyjaśnienie przykładu
1.10. \(\displaystyle{ e^{-y} (1+y')=1}\)
Rozwiązanie - metoda rozdzielania zmiennych
1.11. \(\displaystyle{ xy'+y=y^2}\)
Rozwiązanie - metoda rozdzielania zmiennych
1.12. \(\displaystyle{ \left( \sqrt{xy} - \sqrt{x} \right) y' - y = 0}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
1.13. \(\displaystyle{ \left( y+xy \right) \mbox d x + \left( x-xy\right) \mbox d y = 0}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
Lista zadań:
2.1. \(\displaystyle{ y' -y\tan{x}=2\cos^{2}{x}}\)
Rozwiązanie - Równanie różnoczkowe
2.2. \(\displaystyle{ y'+ \frac{1-2x}{x^2} y=1}\)
Rozwiązanie - Rozwiaz rownanie.
2.3. \(\displaystyle{ xy'- \frac{y}{x+1} =x}\)
Rozwiązanie - Rozwiaz rownanie.
2.4. \(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x}=\frac{1}{x}}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe
2.5. \(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)
Rozwiązanie - Rozwiązać równanie różniczkowe
2.6. \(\displaystyle{ x \frac{\mbox d y}{\mbox d x} +(1-x)y = xe ^{x}}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
Rozwiązanie - Równanie różnoczkowe
2.2. \(\displaystyle{ y'+ \frac{1-2x}{x^2} y=1}\)
Rozwiązanie - Rozwiaz rownanie.
2.3. \(\displaystyle{ xy'- \frac{y}{x+1} =x}\)
Rozwiązanie - Rozwiaz rownanie.
2.4. \(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x}=\frac{1}{x}}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe
2.5. \(\displaystyle{ y'=\frac{y - x}{x}}\)
Rozwiązanie - Rozwiązać równanie różniczkowe
2.6. \(\displaystyle{ x \frac{\mbox d y}{\mbox d x} +(1-x)y = xe ^{x}}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
Lista zadań:
3.1. \(\displaystyle{ 3x^{2}e^{y}dx+(x^{3}e^{y}-1)dy=0}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe
3.2. \(\displaystyle{ (x+y)\mbox{d}x+x\mbox{d}y=0}\)
Rozwiązanie - równanie, problem z rozwiązaniem
3.3. \(\displaystyle{ \left( y ^{2}- \sin x \right) \mbox d x+ \left( 2xy+ \frac{1}{y} \right ) \mbox d y=0}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe zupełne
Rozwiązanie - Równania różniczkowe
3.2. \(\displaystyle{ (x+y)\mbox{d}x+x\mbox{d}y=0}\)
Rozwiązanie - równanie, problem z rozwiązaniem
3.3. \(\displaystyle{ \left( y ^{2}- \sin x \right) \mbox d x+ \left( 2xy+ \frac{1}{y} \right ) \mbox d y=0}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe zupełne
Lista zadań:
4.1. \(\displaystyle{ \begin{cases} x'=-x+y \\ y'=3x+y \end{cases}}\)
Rozwiązanie - układ równań
4.2. \(\displaystyle{ \begin{cases} x' = 3x + 8y \\ y'= -x- 3y \end{cases}}\)
Rozwiązanie - rozwiąz układ równań
4.3. \(\displaystyle{ \begin{cases} x'=x+3y \\ y'=-x+5y \end{cases}}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ x(0)=2, y(0)=1}\).
Rozwiązanie - układ równań, z warunkami początkowymi
Rozwiązanie - układ równań
4.2. \(\displaystyle{ \begin{cases} x' = 3x + 8y \\ y'= -x- 3y \end{cases}}\)
Rozwiązanie - rozwiąz układ równań
4.3. \(\displaystyle{ \begin{cases} x'=x+3y \\ y'=-x+5y \end{cases}}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ x(0)=2, y(0)=1}\).
Rozwiązanie - układ równań, z warunkami początkowymi
Lista zadań:
5.1. \(\displaystyle{ x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y=y^2\ln{x}}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.2. \(\displaystyle{ 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y\cot{x}=\frac{8\cos^{3}{x}}{y}}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.3. \(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}-y}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe
5.4. \(\displaystyle{ y=xy'+\sqrt{1-y'^2}}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe Clairauta
5.5. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+xy=xy ^{3}}\)
Rozwiązanie - rownanie bernoulliego
5.6. \(\displaystyle{ y\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{y^2}{x}}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe
5.7. \(\displaystyle{ \left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \frac{dy}{dx} +y(x-2y)=0}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.8. \(\displaystyle{ x^{2} \left( \frac{dy}{dx} - y^{2} \right) + \frac{dy}{dx} = xy}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.9. \(\displaystyle{ xy\frac{\mbox d y}{\mbox d x}+(x^2+y^2+x)=0}\)
Rozwiązanie - nieliniowe równanie różniczkowe 1 stopnia z haczykiem
5.10. \(\displaystyle{ x \, \mbox dy - y \, \mbox d x = y\, \mbox d y}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.2. \(\displaystyle{ 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y\cot{x}=\frac{8\cos^{3}{x}}{y}}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.3. \(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}-y}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe
5.4. \(\displaystyle{ y=xy'+\sqrt{1-y'^2}}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe Clairauta
5.5. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+xy=xy ^{3}}\)
Rozwiązanie - rownanie bernoulliego
5.6. \(\displaystyle{ y\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} - \frac{y^2}{x}}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe
5.7. \(\displaystyle{ \left(x^{2} - xy + y^{2} \right) \frac{dy}{dx} +y(x-2y)=0}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.8. \(\displaystyle{ x^{2} \left( \frac{dy}{dx} - y^{2} \right) + \frac{dy}{dx} = xy}\)
Rozwiązanie - równania różniczkowe
5.9. \(\displaystyle{ xy\frac{\mbox d y}{\mbox d x}+(x^2+y^2+x)=0}\)
Rozwiązanie - nieliniowe równanie różniczkowe 1 stopnia z haczykiem
5.10. \(\displaystyle{ x \, \mbox dy - y \, \mbox d x = y\, \mbox d y}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe pierszwego rzędu
Lista zadań:
1. \(\displaystyle{ x^{2} y''-2y=6 \frac{\ln x}{x}}\)
Rozwiązanie - Równanie Eulera
2. \(\displaystyle{ y''-5y'+4y=8e^{x}}\)
Rozwiązanie - równanka 1. i 2. stopien
3. \(\displaystyle{ (x^2+1)(y'^2-yy'')=xyy'}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe
4. \(\displaystyle{ y''+y= \tan x}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe II rzędu
5. \(\displaystyle{ y''=2xy'}\)
Rozwiązanie - zagadnienie początkowe, równanie Riccatiego
6. \(\displaystyle{ y''=2yy'}\)
Rozwiązanie - zagadnienie początkowe, równanie Riccatiego
7. \(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 1}\)
Rozwiązanie - Rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego
8. \(\displaystyle{ 4y''-4y'-3y=0}\) z warunkiem \(\displaystyle{ y'(0)=0}\)
Rozwiązanie - znaleźć wszystkie rozwiązania
9. \(\displaystyle{ y''' = y}\)
Rozwiązanie - równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu
10. \(\displaystyle{ y''-7y'+6y=6x+5}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe rzędu drugiego
11. \(\displaystyle{ x(x-1)y'' - xy' +y=0}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe
Rozwiązanie - Równanie Eulera
2. \(\displaystyle{ y''-5y'+4y=8e^{x}}\)
Rozwiązanie - równanka 1. i 2. stopien
3. \(\displaystyle{ (x^2+1)(y'^2-yy'')=xyy'}\)
Rozwiązanie - Równania różniczkowe
4. \(\displaystyle{ y''+y= \tan x}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe II rzędu
5. \(\displaystyle{ y''=2xy'}\)
Rozwiązanie - zagadnienie początkowe, równanie Riccatiego
6. \(\displaystyle{ y''=2yy'}\)
Rozwiązanie - zagadnienie początkowe, równanie Riccatiego
7. \(\displaystyle{ t^2 y'' + ty' - 4y = 1}\)
Rozwiązanie - Rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego
8. \(\displaystyle{ 4y''-4y'-3y=0}\) z warunkiem \(\displaystyle{ y'(0)=0}\)
Rozwiązanie - znaleźć wszystkie rozwiązania
9. \(\displaystyle{ y''' = y}\)
Rozwiązanie - równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu
10. \(\displaystyle{ y''-7y'+6y=6x+5}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe rzędu drugiego
11. \(\displaystyle{ x(x-1)y'' - xy' +y=0}\)
Rozwiązanie - równanie różniczkowe
Lista zadań:
1. \(\displaystyle{ z''+2z'+z=0}\) z warunkami początkowymi: \(\displaystyle{ z(0^+) = 0, \; z'(0^+) = 1}\)
Rozwiązanie - Pozwiązać operatorowo
2. \(\displaystyle{ y' = 1}\)
Rozwiązanie - Zastosowanie tranformaty Laplace'a
3. \(\displaystyle{ y'' - 3y' + 2y = 2}\) z warunkami początkowymi: \(\displaystyle{ y(0^+) = y'(0^+) = 0}\)
Rozwiązanie - Zastosowanie tranformaty Laplace'a
Rozwiązanie - Pozwiązać operatorowo
2. \(\displaystyle{ y' = 1}\)
Rozwiązanie - Zastosowanie tranformaty Laplace'a
3. \(\displaystyle{ y'' - 3y' + 2y = 2}\) z warunkami początkowymi: \(\displaystyle{ y(0^+) = y'(0^+) = 0}\)
Rozwiązanie - Zastosowanie tranformaty Laplace'a
Lista zadań:
1. \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x} + \frac{ \partial u}{ \partial y} = 0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ u\left( x, 0\right) = e^{x}}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1
2. \(\displaystyle{ x \frac{ \partial u}{ \partial x} +y \frac{ \partial u}{ \partial y} = 0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ u\left( x, 1\right) = \sin x}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1
3. \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x^{2} } = 0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ u\left( 0, y\right) = y^{2} , \frac{ \partial u}{ \partial x} \left( 0, y\right) = 2y}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1
4. \(\displaystyle{ u_{x} + \frac{1}{2}u_{y}=u^{2}}\) z warunkiem brzegowym \(\displaystyle{ u(x,x)=\frac{1}{x}}\)
Rozwiązanie - Zagadnienie początkowe (cząstkowe)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1
2. \(\displaystyle{ x \frac{ \partial u}{ \partial x} +y \frac{ \partial u}{ \partial y} = 0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ u\left( x, 1\right) = \sin x}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1
3. \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u}{ \partial x^{2} } = 0}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ u\left( 0, y\right) = y^{2} , \frac{ \partial u}{ \partial x} \left( 0, y\right) = 2y}\)
Rozwiązanie - Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym 1
4. \(\displaystyle{ u_{x} + \frac{1}{2}u_{y}=u^{2}}\) z warunkiem brzegowym \(\displaystyle{ u(x,x)=\frac{1}{x}}\)
Rozwiązanie - Zagadnienie początkowe (cząstkowe)
Lista zadań:
Rozwiązanie - równanie rodziny ortogonalnejZadanie 1 pisze:Znaleźć równanie rodziny krzywych ortogonalnych do elips postaci\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =c}\)
Rozwiązanie - Zad. z treścią- równanie różniczkoweZadanie 2 pisze:Tarczę obracającą się z prędkością kątową \(\displaystyle{ 100 \text{obr}/\text{min}}\) umieszczono w wodzie. Jedyną siłą działającą na tę tarczę jest opór wody, proporcjonalny do prędkości kątowej tarczy. Po 1 minucie tarcza obraca się z prędkością \(\displaystyle{ 60 \text{obr}/\text{min}}\). Po jakim czasie jej ruch będzie praktycznie niedostrzegalny np. (\(\displaystyle{ 1 \text{obr}/\text{godz}}\)).
Rozwiązanie - rówanie różniczkowe w zadaniu z treściąZadanie 3 pisze:W dużym zbiorniku jest 5l zanieczyszczonej wody; stężenie zanieczyszczeń wynosi 1g/l. W pewnym momencie do zbiornika zaczynamy dolewać wody (zawirającej 2g/l zanieczyszczeń) w tempie 2l/min i jednocześnie innym otworem odprowadzać z niego wodę w tempie 1l/min. Woda w zbiorniku jest nieustannie dokładnie mieszana, tak że stężenie zanieczyszczeń jest w każdym miejscu zbiornika takie samo. Jakie będzie stężenie zanieczyszczeń w zbiorniku po t minutach?
Rozwiązanie - Basen : równanie rózniczkoweZadanie 4 pisze:Basen o pojemności 10 000 litrów zawiera 100 litrów czystej wody. Do basenu wlewa się woda o skażeniu 50% z prędkością 20 litrów na minute. Przez otwór spustowy ciecz wylewa się z prędkością 10 litrów na minute. Wyznaczyć skażenie wody w chwili napełnienia zbiornika.
Rozwiązanie - Znaleźć krzywą.Zadanie 5 pisze:Znajdź krzywą dla której odległość dowolnej stycznej od początku układu współrzędnych jest stała i wynosi \(\displaystyle{ s}\).
Rozwiązanie - równanie rózniczkowe: "Znaleźć krzywą, której styczna..Zadanie 6 pisze:Znaleźć krzywą, której styczna odległa jest od początku układu współrzędnych o bezwzględną wartość odciętej punktu styczności.