Matematyka.pl

Rozważmy równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach rzeczywistych. Szukam całek szczególnych postaci \(\displaystyle{ y(x)=e ^{rx}}\), ich postać zależy od pierwiastków równania charakterystycznego.

Dla pierwiastka podwójnego \(\displaystyle{ r _{0}}\) Całki szczególne będą postaci \(\displaystyle{ y _{1}(x)=e ^{r _{0}x } , y _{2}(x)=xe ^{r _{0}x }}\)

Jaką postać będą miały całki szczególne dla pierwiastka n- krotnego ?

Dla pierwiastków zespolonych\(\displaystyle{ }\) postać jest mi znana, jednak jak będą wyglądać całki szczególne dla pierwiastków zespolonych n-krotnych ??

[pawciu] pisze:Jaką postać będą miały całki szczególne dla pierwiastka n- krotnego ?

Układ fundamentalny będą tworzyć funkcje \(\displaystyle{ e^{r_0x}, xe^{r_0x},x^2e^{r_0x},\ldots,x^{n-1}e^{r_0x}}\).

[pawciu] pisze:Dla pierwiastków zespolonych\(\displaystyle{ }\) postać jest mi znana, jednak jak będą wyglądać całki szczególne dla pierwiastków zespolonych n-krotnych ??

Tu obowiązuje ta sama zasada co dla pierwiastków rzeczywistych - mamy więc \(\displaystyle{ \sin(r_0x},\cos(r_0x), x\sin(r_0x), x\cos(r_0x), x^2\sin(r_0x), x^2\cos(r_0x),\ldots, x^{n-1}\sin(r_0x), x^{n-1}\cos(r_0x)}\).

Super dziękuje ! Mam ten sam problem z równaniem różniczkowym Eulera. Jak będą wyglądać te całki szczególne przy n-krotnym pierwiastku rzeczywistym i n-krotnym pierwiastku zespolonym, całki są postaci \(\displaystyle{ y(x)=x ^{r}}\)-- 7 wrz 2011, o 16:40 --Całka szczególna równania Eulera dla k-krotnego pierwiastka rzeczywistego\(\displaystyle{ r _{0}}\) jego równania charakterystycznego będzie postaci \(\displaystyle{ y=x ^{r _{0}}, y=x ^{r _{0}}\ln(x), y=x ^{r _{0}}\ln^{2}(x), . . ., y=x ^{r _{0}}\ln ^{k-1}(x)}\)
natomiast dla k-krotnego pierwiastka zespolonego \(\displaystyle{ \alpha + i \beta}\) całka szczególna bedzie postaci \(\displaystyle{ y=x ^{ \alpha }\cos( \beta \ln(x)), y=x ^{ \alpha }\cos( \beta \ln(x))\ln(x), y=x ^{ \alpha }\cos( \beta \ln(x))\ln ^{2}(x), ... , y=x ^{ \alpha }\cos( \beta \ln(x))\ln ^{k-1}(x)}\)
i to samo dla pierwiastka sprzężonego przy czym wtedy zamiast cos jest sin. Proszę o potwierdzenie bo nie moglem tego nigdzie znaleźć i sam to wykombinowałem.