Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } + x\tg \left( \frac{y}{x} \right) =y}\)
przekształcam do postaci równania jednorodnego dzieląc przez x
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } + \tg \left( \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x}=0}\)
dalej podstawienie, całkowanie równania i otrzymuje wynik
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x}}\)
Jak podstawić wynik do równania i sprawdzić czy sie zgadza ?
Proszę o pomoc

Tę funkcję można przedstawić w formie nieuwikłanej.

tzn. \(\displaystyle{ y=x\arcsin \left( \frac{C}{x} \right)}\) ??
Podstawilem to i wyszlo ostatecznie \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{C}{x} \right) =\arctan \left( \frac{C}{ \sqrt{x ^{2} -C ^{2} } } \right)}\)

Zgodnie z zależnością pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami cyklometrycznymi, zachodzi:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x} \\
\frac{y}{x} = \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right) \\
y(x) = x \cdot \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right)}\)

Na nieszczęście dochodzą nam jeszcze ograniczenia:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} \in \left[ - \frac{ \pi}{2} ; \frac{ \pi}{2} \right] \\
\frac{C}{x} \in \left[ -1; 1 \right]}\)

Pozdrawiam!