Wyznaczyć trajektorie ortogonalną rodziny krzywych \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} +2y=c}\)
Na początek wyznaczę równanie różniczkowe którego rozwiązaniem będzie rodzina lini. Zaczne od wyrugowania parametru c, jednak juz tu napotykam problem. Chcę wykorzystać do tego układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F(x,y,c)}{ \partial x} + \frac{ \partial F(x,y,c)}{ \partial y} \frac{dy}{dx} = 0, \\ F(x,y,c)=0 \end{cases}}\),
jednak w pierwszym równaniu nie pojawia sie w ogóle parametr c. Czy w tym wypadku pierwsze równanie będzie szukanym równaniem różniczkowym ??
Bardzo proszę o pomoc
Trajektoria ortogonalna
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Trajektoria ortogonalna
Tak, tutaj to równanie różniczkowe daje Ci tę rodzinę okręgów, gdyż masz bardzo prosty i przyzwoity przykład, typowy dla równań zupełnych. W bardziej skomplikowanych trzeba z tego wyznaczać c.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nieznana
- Podziękował: 16 razy
Trajektoria ortogonalna
Ok w takim razie równanie różniczkowe rodziny linii ma postać \(\displaystyle{ 2x+ (2y+2) \frac{dy}{dx}=0}\)
Teraz wystarczy tylko zamienić \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) na \(\displaystyle{ \frac{-1}{\frac{dy}{dx}}}\) i otrzymujemy równanie różniczkowe trajektorii ortogonalnych \(\displaystyle{ 2x- (2y+2) \frac{dx}{dy}=0}\)
Czy to jest w porządku ?
Teraz wystarczy tylko zamienić \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) na \(\displaystyle{ \frac{-1}{\frac{dy}{dx}}}\) i otrzymujemy równanie różniczkowe trajektorii ortogonalnych \(\displaystyle{ 2x- (2y+2) \frac{dx}{dy}=0}\)
Czy to jest w porządku ?