Transformata Laplace'a

[wielkidemonelo]

Używając przekształcenia La'Placea rozwiązać układ równań różniczkowych
\(\displaystyle{ \left\{ x'(t)= y(t)+1}\)
\(\displaystyle{ \left\{ y'(t)= x(t)+t}\)
\(\displaystyle{ x(0)=y(0)=1}\)
Doszedłem do
\(\displaystyle{ \left\{ s \ell(y(t)) -1 -\ell(x(t))= \frac{1}{s^2}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ s \ell(x(t)) -1 -\ell(y(t))= \frac{1}{s}}\)


Co dalej?
Podzielić drugie równanie powyżej przez \(\displaystyle{ s}\) i dodać stronami?
Dziękuję.

[szw1710]

Wyznaczasz z układu \(\displaystyle{ \ell(x)}\) i \(\displaystyle{ \ell(y),}\) normalnie, jakby to był układ równań liniowych. Dalej ułamki proste i tabela transformat. To nietrudne.

BTW: lepiej pisać \(\displaystyle{ \mathcal{L}\{x(t)\}}\) zamiast \(\displaystyle{ \ell\bigl(x(t)\bigr)}\). Oczywiście wszystko rozumiem

[wielkidemonelo]

Ok, a jak przetransformować wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{s^2-1}}\) lub\(\displaystyle{ \frac{s}{s^2-1}}\)?

w tablicach mam tylko np. \(\displaystyle{ \mathcal{L}[cos \alpha t]=\ \frac{s}{s^2+a^2}}\)

[miki999]

Rozłóż na ułamki proste.

[wielkidemonelo]

\(\displaystyle{ \frac{1}{s^2-1}= \frac{1}{(s-1)(s+1)}}\)
nadal jest problem.
Ok, to będzie \(\displaystyle{ t^2}\) po przetransformowaniu?

[miki999]

To nie jest jeszcze rozkład, o którym pisałem.

[wielkidemonelo]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2(s-1)} - \frac{1}{2(s+1)}}\)

Ok, to już jasne, dzięki.