Równanie różniczkowe 2 rzędu

[elgreen]

Witam,

Chciałbym dowiedzieć się z jakim typem równania mam do czynienia i poznać sposób jego rozwiązania.
Ostatni kontakt z równaniami różniczkowymi miałem co najmniej 5 lat temu, więc mam jakieś mgliste pojęcie, lecz niestety nie udało mi się dojść do wyniku, a dalsze próby zajmują mi dużo czasu. Co gorsza nie mam dostępu do literatury i notatek ze studiów.
Równanie wywodzi się z zależności naprężeń od odkształceń (uogólnione prawo Hooke'a) zastosowanych przy rozpatrywaniu teorii połączeń wciskowych.

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d ^{2}}u}{\mbox{d}r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\mbox{d }u}{\mbox{d}r}-\frac{u}{ r^{2}}=0}\)

Rozumiem też, iż stosując wzór skróconego dzielenia, można uprościć zapis tego równania do:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d ^{2}}u}{\mbox{d}r^{2}}+\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}r} \left( \frac{u}{r} \right) =0}\)

Poszukiwany jest wynik w formie \(\displaystyle{ u=f(r)}\)

Z góry dziękuje za wszelkie próby.

[Lorek]

wzór skróconego dzielenia

Ciekawa nazwa. Jak pomnożysz wyjściowe równanie przez \(\displaystyle{ r^2}\) to masz równanie Eulera.

[elgreen]

Po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ r^{2}}\) otrzymuję takie równanie:
(1) \(\displaystyle{ r^{2}\frac{\mbox{d^{2}}u}{\mbox{d}r^{2}}+r\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}r}-u=0}\)

upraszczając zapis:
(2) \(\displaystyle{ r^{2}u^{\prime\prime}+ru^\prime -u=0}\)

podstawiając
(3) \(\displaystyle{ u\left(r\right)=y\left(\ln |r|\right)}\) (podstawienie znalezione ... owe_Eulera )

tym sposobem:
(4) \(\displaystyle{ u^\prime \left(r\right)=y^\prime \left(\ln |r|\right) \cdot \left(\ln |r|\right)^\prime =\frac{1}{r}y^\prime}\)
(5) \(\displaystyle{ u^{\prime\prime}\left(r\right)=y^{\prime\prime}\left(\ln |r|\right) \cdot \left(\ln |r|\right)^\prime + \left( \frac{1}{r}\right) ^\prime \cdot y^\prime \left(\ln |r|\right) =y^{\prime\prime}\left(\ln |r|\right) \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r}-\frac{1}{r^{2}} \cdot y^\prime \left(\ln |r|\right)=\frac{1}{r^{2}} \cdot y^{\prime\prime}-\frac{1}{r^{2}} \cdot y^\prime}\)

wstawiając (4) i (5) do (2) uzyskujemy:
(6) \(\displaystyle{ r^{2} \cdot \left[ \frac{1}{r^{2}} \cdot y^{\prime\prime}-\frac{1}{r^{2}} \cdot y^\prime \right]+r \cdot \left[ y^\prime \cdot \frac{1}{r}\right]-y}\) gdzie "r" się skraca i w ostateczności wychodzi:

(7) \(\displaystyle{ y^{\prime\prime}-y=0}\) (równanie liniowe, jednorodne, o stałych współczynnikach \(\displaystyle{ a _{2}=1, a_{0}=-1}\) , którego równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ s^{2}-1}\) ma dwa pierwiastki \(\displaystyle{ s_{1}=1}\) \(\displaystyle{ s_{2}=-1}\)

Na podstawie powyższego równania charakterystycznego wnioskuje się, że rozwiązaniem równania (7) jest funkcja
(8) \(\displaystyle{ y=C_{1} \cdot e^{s_{1} \cdot r}+C_{2} \cdot e^{s_{2} \cdot r}=C_{1} \cdot e^{r}+C_{2} \cdot e^{-r}}\)

zapisując dokladniej rozwiązaniem ogólnym równ. (7) jest:
(9) \(\displaystyle{ y\left(\ln |r|\right)=C_{1} \cdot e^{r}+C_{2} \cdot e^{-r}}\)

I tu się pogubilem (a właściwie juz równ. (3) jest dla mnie abstrakcyjne), ile teraz wynosi \(\displaystyle{ u\left(r\right)}\)?

[Lorek]

Do (8) jest ok, ale (9) powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ y(r)=C_1e^r+C_2e^{-r}}\)
i teraz musisz znaleźć \(\displaystyle{ u(r)=y(\ln |r|)}\) czyli we wzorze na \(\displaystyle{ y}\) zamiast \(\displaystyle{ r}\) musisz wstawić ten logarytm.

Swoją drogą ja w równaniach Eulera wolę podstawienie \(\displaystyle{ u(r)=r^s}\)

[elgreen]

Nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ y\left(r\right)=C_1e^r+C_2e^{-r}}\) zamiast \(\displaystyle{ y\left(\ln |r|\right)=C_1e^r+C_2e^{-r}}\)
W takim razie \(\displaystyle{ u\left(r\right)=y\left(\ln |r|\right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ u\left(r\right)=C_{1}e^{\ln |r|}+C_{2}e^{-\ln |r|}}\) ?

To jest ostateczny wynik (rozwiązanie ogólne)? Czy można coś jeszcze zdziałać obustronnie logarytmując (musiał bym sobie logarytmy przypomnieć )

Swoją drogą ja w równaniach Eulera wolę podstawienie u(r)=r^s

Można robić dowolne wygodnie różniczkowalne dla nas podstawienia? Jedyne kryterium podstawienia to, by była to funkcja, która przy różniczkowaniu wyruguje nam niewygodne zmienne? Niezależnie od podstawionej funkcji, wynik powinien być ten sam?-- 13 wrz 2011, o 17:16 --Znalazłem w książce rozwiązanie takiego równania i wygląda inaczej...

rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ u\left(r\right)=C_{1}r}+\frac{C_{2}}{r}}\)

Czy jest sposób na przejście z mojego wyniku na ten otrzymany w książce?
Czy też jest to inny wynik?