mam problem z takim równaniem \(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{y^4}}\)
rozwiązuje najpierw równanie \(\displaystyle{ y'=- \frac{y}{x}}\) wychodzi z tego \(\displaystyle{ y= \frac{1}{Cx}}\) i tutaj zaczyna mi się robić jakiś nieład. Stosuję metodę uzmienniania czyli liczę pochodną tego wyniku. A pochodna wychodzi mi jakaś dziwna gdyż \(\displaystyle{ y'= \frac{-(c(x)'x^2+2c(x)x)}{(cx)^2}}\) Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć co z tym zrobić?
Równanie liniowe
-
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
Równanie liniowe
hmm a jak się za to zabrać?
-- 28 sie 2011, o 21:21 --
-- 28 sie 2011, o 21:21 --
sory błąd był w równaniu teraz jest poprawione, ale nadal nie wiem jak to zrobić...peterus90 pisze:mam problem z takim równaniem \(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\)
rozwiązuje najpierw równanie \(\displaystyle{ y'=- \frac{y}{x}}\) wychodzi z tego \(\displaystyle{ y= \frac{1}{Cx}}\) i tutaj zaczyna mi się robić jakiś nieład. Stosuję metodę uzmienniania czyli liczę pochodną tego wyniku. A pochodna wychodzi mi jakaś dziwna gdyż \(\displaystyle{ y'= \frac{-(c(x)'x^2+2c(x)x)}{(cx)^2}}\) Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć co z tym zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie liniowe
A jeżeli już wiesz, że jest to równanie Bernoulliego, to dalej sobie poradzisz?
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } + p(x) \cdot y = q(x) \cdot y ^{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } + p(x) \cdot y = q(x) \cdot y ^{n}}\)
Równanie liniowe
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\) to chyba nie jest równanie Bernoulliego... w pierwszej wypowiedzi źle napisałem równanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 10 razy
Równanie liniowe
Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\)
Najpierw liczymy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = 0}\)
Rozdzielamy zmienne i liczymy...
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = - \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}y }{y} = - \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| y \right| = - \ln \left| x \right|}\)
\(\displaystyle{ y(x) _{0} = \frac{C _{1} }{x}}\)
Uzmienniamy stałą...
\(\displaystyle{ C _{1} = C _{1} (x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y _{0} }{ \mbox{d}x } = \left( \frac{C _{1} }{x} \right) ' = \frac{x \cdot \frac{ \mbox{d}C _{1} }{ \mbox{d}x } - C _{1} (x) }{x ^{2} }}\)
Wstawiamy te pochodną i pierwsze rozwiązanie do równania początkowego:
\(\displaystyle{ \frac{x \cdot \frac{ \mbox{d}C _{1} }{ \mbox{d}x } - C _{1} (x) }{x ^{2} } + \frac{C _{1} }{x ^{2} } = \frac{2}{x ^{4} }}\)
Po zredukowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ C _{1}(x) = - \frac{1}{2x ^{2} }}\)
Teraz układamy rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ y(x) = \frac{C _{1} }{x} - \frac{1}{2x ^{3} }}\)
Pozdrawiam!
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = \frac{2}{x^4}}\)
Najpierw liczymy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{y}{x} = 0}\)
Rozdzielamy zmienne i liczymy...
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = - \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}y }{y} = - \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{x}}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| y \right| = - \ln \left| x \right|}\)
\(\displaystyle{ y(x) _{0} = \frac{C _{1} }{x}}\)
Uzmienniamy stałą...
\(\displaystyle{ C _{1} = C _{1} (x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y _{0} }{ \mbox{d}x } = \left( \frac{C _{1} }{x} \right) ' = \frac{x \cdot \frac{ \mbox{d}C _{1} }{ \mbox{d}x } - C _{1} (x) }{x ^{2} }}\)
Wstawiamy te pochodną i pierwsze rozwiązanie do równania początkowego:
\(\displaystyle{ \frac{x \cdot \frac{ \mbox{d}C _{1} }{ \mbox{d}x } - C _{1} (x) }{x ^{2} } + \frac{C _{1} }{x ^{2} } = \frac{2}{x ^{4} }}\)
Po zredukowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ C _{1}(x) = - \frac{1}{2x ^{2} }}\)
Teraz układamy rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ y(x) = \frac{C _{1} }{x} - \frac{1}{2x ^{3} }}\)
Pozdrawiam!