Równania rózniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego o zmiennych
: 19 lip 2011, o 00:11
1)Równanie:(7.44) Krysicki, Włodarski
\(\displaystyle{ 2x \sqrt{ax-x^2} \frac{dy}{dx} = a^{2} + y^{2}}\)
Rodzielam zmienne :
\(\displaystyle{ 2x \sqrt{ax-x^2} dy = (a^{2} + y^{2}) dx \\ \frac{dy}{a^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2x\sqrt{ax-x^2}} dx}\)
Całkuję:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{a^{2}+y^{2}} = \int \frac{1}{2x\sqrt{ax-x^2}} dx}\)
Wynik pierwszej całki to \(\displaystyle{ \frac{1}{a} \arctan \frac{y}{a} + c}\) i tu pytanie jak ruszyć drugą całkę?
2)Równanie (7.53)
\(\displaystyle{ (2+y) \sqrt{1+ x^{2} } = \sqrt{1+ y^{2} } \frac{dy}{dx}}\)
Czy w tym zadaniu otrzymam takie całki ?
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{ 1+ x^{2}} } = \int \frac{2+y}{ \sqrt{1+ y^{2}} } dy}\)
3)Równanie (7.54)
\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} - y = \frac{dy}{dx} \sqrt{1+ x^{2} } + \sqrt{1+ y^{2} }}\)
Rozdzielam zmienne :
\(\displaystyle{ \left( x- \sqrt{1+x^{2} } \right) {dy} = \left( y+ \sqrt{1+ y^{2} } \right) dx}\)
Otrzymuję całeczki:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y+\sqrt{1+y^2}} = \int \frac{dx}{x-\sqrt{1+x^2}}}\)
Jak rozwiązać te całki ?
Pomożecie ?
\(\displaystyle{ 2x \sqrt{ax-x^2} \frac{dy}{dx} = a^{2} + y^{2}}\)
Rodzielam zmienne :
\(\displaystyle{ 2x \sqrt{ax-x^2} dy = (a^{2} + y^{2}) dx \\ \frac{dy}{a^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2x\sqrt{ax-x^2}} dx}\)
Całkuję:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{a^{2}+y^{2}} = \int \frac{1}{2x\sqrt{ax-x^2}} dx}\)
Wynik pierwszej całki to \(\displaystyle{ \frac{1}{a} \arctan \frac{y}{a} + c}\) i tu pytanie jak ruszyć drugą całkę?
2)Równanie (7.53)
\(\displaystyle{ (2+y) \sqrt{1+ x^{2} } = \sqrt{1+ y^{2} } \frac{dy}{dx}}\)
Czy w tym zadaniu otrzymam takie całki ?
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{ 1+ x^{2}} } = \int \frac{2+y}{ \sqrt{1+ y^{2}} } dy}\)
3)Równanie (7.54)
\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} - y = \frac{dy}{dx} \sqrt{1+ x^{2} } + \sqrt{1+ y^{2} }}\)
Rozdzielam zmienne :
\(\displaystyle{ \left( x- \sqrt{1+x^{2} } \right) {dy} = \left( y+ \sqrt{1+ y^{2} } \right) dx}\)
Otrzymuję całeczki:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y+\sqrt{1+y^2}} = \int \frac{dx}{x-\sqrt{1+x^2}}}\)
Jak rozwiązać te całki ?
Pomożecie ?