Znajdz rozwiazanie ronwnia rozniczkowego.

[MarlenQs]

\(\displaystyle{ y'= \frac{x+y}{x-y} , y(1)=0
\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}
(x+y)dx+(x-y)dy=0}\)
\(\displaystyle{ P(x,y)=x+y, Q(x,y)=x-y}\)
\(\displaystyle{ P_y=1, P_x=1}\) a wiec rownanie zwyczajne zupelne!

\(\displaystyle{ F(x,y)= \int x+y dx= \frac{1}{2} x^2+xy+ \gamma (y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\delta F}{\delta y} =\frac{\delta}{\delta y}= (\frac{1}{2} x^2+xy+ \gamma (y))=x+\gamma'(y)}\)

\(\displaystyle{ x+\gamma'(y)=x-y
\gamma'(y)=-y \gamma= - \frac{1}{2} y^2+ C_1}\)

a wiec \(\displaystyle{ F(x,y)= \frac{1}{2} x^2+xy- \frac{1}{2} y^2=C}\)

zgadza sie? ale nie wiem jak wylciczyc C?

[mattmiller]

stałą C wyliczysz , jak do rozwiązania ogólnego wstawisz warunek początkowy y(1)=0

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}\quad (x+y)dx+(x-y)dy=0}\)

Ale tu coś jest nie tak...

[Mariusz M]

Nie lepiej jest rozwiązywać jak jednorodne

Równanie nie jest zupełne (nie zmiienił znaku podczas przenoszena na drugą stronę)
Można liczyć czynnik całkujący ale ...

\(\displaystyle{ y'= \frac{x+y}{x-y} , y(1)=0\\
y^{\prime}= \frac{1+ \frac{y}{x} }{1- \frac{y}{x} }\\
y=ux\\
u^{\prime}x+u= \frac{1+u}{1-u}\\
u^{\prime}x= \frac{1+u-u+u^2}{1-u}\\
\frac{1-u}{1+u^2} \mbox{d}u= \frac{ \mbox{d}x }{x}\\
\arctan{u}- \frac{1}{2}\ln{\left| u^2+1\right| }=\ln{\left| x\right| } +C\\
\sqrt{u^2+1}e^{arctan{u}}=Cx\\
\frac{ \sqrt{x^2+y^2} }{x}e^{\arctan{\left( \frac{y}{x} \right) }}=Cx\\
\sqrt{x^2+y^2}e^{\arctan{\left( \frac{y}{x} \right) }}=Cx^2}\)