Rozwiaz rownanie.

[MarlenQs]

\(\displaystyle{ y'+ \frac{1-2x}{x^2} y=1}\) i \(\displaystyle{ xy'- \frac{y}{x+1} =x}\)

[Funktor]

To są 2 oddzielne równania czy układ ?

[MarlenQs]

2 oddzielne

[Funktor]

Ok, więc co do pierwszego to jest prosto, jest to równanie o rozdzielonych zmiennych, przenieś człon w którym jest x na lewą stronę i sprowadź \(\displaystyle{ 1}\) i ten składnik do wspólnego mianownika. Następnie uzyskane wyrażenie pomnóż przez różniczkę x i podziel przez y, ponadto możesz wykonać dzielenie w tym składniku przy \(\displaystyle{ dx}\), wyrażenie jest gotowe do odcałkowania.-- 29 cze 2011, o 11:47 --Jak rozwiążesz to zrobimy drugie , ale zaraz muszę lecieć więc może potem : )

[mattmiller]

w drugim podziel przez x i tez jest o rozdzielonych zmiennych'

[Mariusz M]

To są równania liniowe nie o rozdzielonych zmiennych
(przynajmniej ja nie widzę jak rozdzielić)


1)

\(\displaystyle{ y^{\prime}+\frac{1-2x}{x^2}y=1\\
y^{\prime}+\frac{1-2x}{x^2}y=0\\
\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{2x-1}{x^2}y\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=\frac{2x-1}{x^2}\mbox{d}x\\
\ln{|y|}=2\ln{|x|}+\frac{1}{x}+C\\
y=Cx^2e^{\frac{1}{x}}\\
y\left(x\right)=C\left(x\right)x^2e^{\frac{1}{x}}\\
C^{\prime}\left(x\right)x^2e^{\frac{1}{x}}+C\left(x\right)e^{\frac{1}{y}}\left(2x-1\right)+C\left(x\right)e^{\frac{1}{y}}\left(1-2x\right)=1\\
C^{\prime}\left(x\right)x^2e^{\frac{1}{x}}=1\\
C^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}\\
C\left(x\right)=e^{-\frac{1}{x}}+C\\
y=x^2\left(1+Ce^{\frac{1}{x}}\right)}\)

2)

\(\displaystyle{ xy^{\prime}-\frac{y}{x+1}=x\\
xy^{\prime}-\frac{y}{x+1}=0\\
x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{y}{x+1}\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=\frac{\mbox{d}x}{x\left(x+1\right)}\\
\frac{\mbox{d}y}{y}=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\mbox{d}x\\
\ln{|y|}=\ln{|\frac{x}{x+1}|}+C\\
y=C\frac{x}{x+1}\\
y=C\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\\
y\left(x\right)=C\left(x\right)\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\\
x\left(C^{\prime}\left(x\right)\cdot \frac{x}{x+1}+\frac{C\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}\right)-\frac{C\left(x\right)x}{\left(x+1\right)^2}=x\\
C^{\prime}\left(x\right)\cdot\frac{x^2}{x+1}=x\\
C^{\prime}\left(x\right)=\frac{x+1}{x}\\
C\left(x\right)=x+\ln{|x|}+C\\
y=\frac{x^2+x\ln{|x|}+Cx}{x+1}}\)