Matematyka.pl

Witam,
mam problem z następującym równaniem:

\(\displaystyle{ y^4 \cdot y'' + y^3 \cdot (y')^2 + 8 y' = 0, y(1)=-2, y'(1) = - \frac{1}{2}}\)

Dziele całe równanie przez \(\displaystyle{ y^4}\) oraz podstawiam za \(\displaystyle{ y''=q \cdot \frac{dq}{dy}}\) oraz \(\displaystyle{ y'=q}\)

Następnie podstawiam za \(\displaystyle{ \frac{q}{y} = u}\)

Otrzymuje następujące równanie:
\(\displaystyle{ u' y=-2u - 8uy^{-3}}\)

Następnie dzielę przez y i całkuje obustronnie po du i dy. Jednakże u wychodzi mi bardzo dziwne i nijak nie potrafię obliczyć później z tego y. Może ktoś potwierdzić sposób rozwiązywania i czy gdzieś nie robię błędu.

Jeżeli podstawisz \(\displaystyle{ y'' = q \frac{dq}{dy}}\), to wtedy \(\displaystyle{ y' = \frac{1}{2} q^{2} (y)}\)

Rogal pisze:Jeżeli podstawisz \(\displaystyle{ y'' = q \frac{dq}{dy}}\), to wtedy \(\displaystyle{ y' = \frac{1}{2} q^{2} (y)}\)

Hmm, ale zawsze tak się podstawia czy tylko w tym konkretnym przypadku ? Ja we wszystkich wcześniejszych zadaniach miałem podstawiane tak jak pisałem i wychodziło dobrze. Możesz mi to jakoś wyjaśnić ?

Ale to nie jest przecież osobne podstawienie tylko konsekwencja pierwszego.

Ogólnie to dzięki za wyrozumiałość

No rozumiem, że jest to konsekwencja pierwszego podstawienia ale tak jak mówię w innych przykładach podstawiałem dokładnie tak jak mówię np
\(\displaystyle{ (y-1)y'' = 2(y')^2}\) i po podstawieniu \(\displaystyle{ (y-1) \frac{dq}{dy}q = 2q^2}\)
i w tym wypadku także jedno musi być konsekwencja drugiego prawda ? To skąd różnice ?

Sam nie wiem może wytłumacz mi to jakoś łopatologicznie ...

W życiu nie rozwiązywałem takiego równania, ale robiłbym tak:
\(\displaystyle{ y^{4} y'' + y^{3} (y')^{2} + 8y' = 0 \\ y'' + \frac{(y')^{2}}{y} + \frac{8y'}{y^{4}} = 0 \\ q(y) = y' \\ q' + \frac{q^{2}}{y} + \frac{8q}{y^{4}} = 0}\)
A to już jest równanie Bernoullego.