Matematyka.pl

\(\displaystyle{ ty ^{'} +2y=4e ^{t}}\)

W ogóle nie wiem jak to zrobić, jeśli ktoś może wyjaśnić jak należy postępować w takich zadaniach albo podać jakieś źródło, gdzie jest to wytłumaczone. Będę wdzięczny.

Podziel wszystko przez \(\displaystyle{ t}\) i powiedz jaki masz rodzaj równania rózniczkowego.

\(\displaystyle{ y ^{'} + \frac{2y}{t} = \frac{4e ^{t} }{t}}\)
\(\displaystyle{ y ^{'} = \frac{4e ^{t} }{t} - \frac{2y}{t}}\)

Jest to równanie różniczkowe jednorodne.

Ja jednak rozwiązywałbym jak liniowe

miodzio1988 pisze:Podziel wszystko przez \(\displaystyle{ t}\) i powiedz jaki masz rodzaj równania rózniczkowego.

Lepiej jest jednak pomnożyć równanie przez t

Po lewej stronie będzie pochodna iloczynu i wtedy wystarczy równanie odcałkować
tak jak to się robiło po rozdzieleniu zmiennych

Metoda uzmiennienia stałej szybko daje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y(t) = \frac{C+4(t-1)e ^{t} }{t ^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ t \neq 0}\).