Matematyka.pl

Chodzi mi o klasyfikacje równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego. Mianowicie mam równanie o n-zmiennych postaci
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} A_{ij}(x)u_{x_i x_j} + \sum_{i=1}^{n} B_i(x) u_x_i + \ldots = 0,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x=(x_1, \ldots , x_n).}\)
Teraz mam taką definicje. Wyrażenie \(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x_1,\ldots ,x_n) \lambda_i \lambda_j}\) nazywamy formą charakterystyczną powyższego równania.
No i mam problem, co znaczą współczynniki \(\displaystyle{ a_{ij}}\), czy to są współczynniki stojące przy pochodnych cząstkowych rzędu drugiego po sprowadzeniu do postaci kanonicznej?
Następnie
1. Jeżeli forma kwadratowa charakterystyczna równania jest określona dodatnio lub ujemnie, to mówimy, że równanie jest typu eliptycznego.
2. Jeżeli forma jest nieosobliwa i nieokreślona to równanie jest typu hiperbolicznego,
3. Jeżeli jest osobliwa, to równanie jest typu parabolicznego.
Forma jest osobliwa jeśli dla każdego wektora wyznacznik macierzy odpowiadający tej formie jest równy \(\displaystyle{ 0}\)?

Co to są \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\)?

Miałem oczywiście błąd w pierwszym poście.
Rozumiem, że ta forma kwadratowa dana jest wzorem \(\displaystyle{ \phi(\lambda,\lambda)=\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \lambda_i \lambda_j}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda = (\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)}\).
Problem polega po prostu na tym, że wziąłem to z książki gdzie autor nie tłumaczy oznaczeń za bardzo...

Czyli masz macierz przekształcenia dwuliniowego \(\displaystyle{ [a_{ij}]}\) i badasz ją pod kryterium Sylwestra...

Czyli współczynniki \(\displaystyle{ a_{ij}}\) to są współczynniki uzyskane z pewnego przekształcenia współczynników \(\displaystyle{ A_{ij}}\)?

Tak,bo forma charakterystyczna jest przekształceniem dwuliniowym...