Różniczki II rzędu

[karollmatek]

Mam następujące równania:

1.
\(\displaystyle{ y''+y= \tg ^ {2}x \\
y''+y=0 \\
r^{2}+1=0 \\
r_{1}=i \wedge r_{2}=-i \\
yj=C_{1} \cos x +C_{2} \sin x \\
C_{1}' \left( x \right) \cos x +C_{2}' \left( x \right) \sin x =0/ \cdot \cos x \\
-C_{1}' \left( x \right) \sin x +C_{2}' \left( x \right) \cos x = \tg ^ {2}x/ \cdot \left( - \sin x \right) \\
C_{1}' \left( x \right) = \tg ^ {2}x \cdot \left( - \sin x \right)}\)

Teraz nie wiem jak obliczyć z tego całkę

2.
\(\displaystyle{ y''-y'=\frac{1}{1+e^{x}}\\
y''-y'=0 \\
r^{2}-r=0 \\
r_{1}=0 \wedge r_{2}=1}\)

Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ yj}\)?

Jak wyznaczyć z poniższych \(\displaystyle{ yj}\)?

3. \(\displaystyle{ y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{x^{2}+1}}\)
4. \(\displaystyle{ y''+4y=\frac{1}{ \cos 2 x}}\)
5. \(\displaystyle{ y''+2y'+2y=\frac{1}{e^{x} \sin x }}\)
6. \(\displaystyle{ y''-2y'+y=e^{x} \ln x}\)
6. \(\displaystyle{ y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{x}}\)

Jakie są zasady?

[sushi]

w pierwszym podstaw \(\displaystyle{ t= \cos x}\) i tangensa rozpisz

\(\displaystyle{ \sin^2 x= 1- \cos^2 x}\)

[karollmatek]

w pierwszym podstaw \(\displaystyle{ t= \cos x}\) i an g ensa rozpisz

\(\displaystyle{ \ \sin ^ 2 x= 1- \ \cos ^ 2 x}\)

Przecież całkę mam \(\displaystyle{ \int \tg ^ {2}x \cdot (- \sin x ) dx}\) więc gdzie mam tu zrobić to podstawienie? A \(\displaystyle{ \tg ^ {2}}\) mam rozpisać jako: \(\displaystyle{ \ \sin ^ 2 x= 1- \ \cos ^ 2 x}\) ?

Możesz jaśniej to napisać?

[sushi]

\(\displaystyle{ \tg^2x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}\) tuuuuuuuuuuuuuuuu

[karollmatek]

ok. Wyszło mi:
\(\displaystyle{ \int \tg ^ {2}x \cdot (- \sin x ) dx=-2\ln| \cos x |+A}\)
Dobrze?

[sushi]

tam nie ma calki z tangensa; rozpisz i dobrze podstaw "t"; beda ulamki proste

[karollmatek]

Czyli mam zrobić tak:

\(\displaystyle{ C_{1}'(x)= \tg ^ 2x \cdot (- \sin x )= \frac{\ \sin ^ 2 x}{\ \cos ^ 2 x} \cdot (- \sin x )}\)

tak?

[sushi]

miales sie zajac liczeniem samej calki; podalem co trzeba zrobic z tangensem; co z licznikiem i jakie podstawienie

[karollmatek]

To policzyłem i powiedziałeś, że nie ma takiej całki. Już nic nie rozumiem. Jaką całke mam obliczyć?

[sushi]

bo do dupy obliczyles ta calke, wiec masz jeszcze raz to policzyc

[karollmatek]

\(\displaystyle{ \int \tg ^ {2}x \cdot (- \sin x ) dx= \int\frac{ \sin ^ {2}x}{ \cos ^ {2}} \cdot (- \sin x )= |t= \cos x , dt=- \sin x |}\)

Teraz mam tak, że za \(\displaystyle{ (- \sin x )}\) mam dt, a \(\displaystyle{ \cos ^ {2}x=t^{2}}\). Nie wiem co z \(\displaystyle{ \sin ^ {2}x}\)

[sushi]

w pierwszym podstaw \(\displaystyle{ t= \cos x}\) i tangensa rozpisz

\(\displaystyle{ \sin^2 x= 1- \cos^2 x}\)

pisalem juz TRZY razy co masz z tym zrobic

[karollmatek]

\(\displaystyle{ \int \tg ^ {2}x \cdot (- \sin x ) dx= \int\frac{ \sin ^ {2}x}{ \cos ^ {2}} \cdot (- \sin x )= |t= \cos x , dt=- \sin x |= \int \frac{1-t^{2}}{t^{2}}dt=\frac{-1}{ \cos x }-\cos+A}\)
Teraz dobrze?

[sushi]

zgadza sie

[karollmatek]

co teraz? I co z resztą przykładów? Naprowadzisz?