zmodyfikowana funkcja bessela- równanie z WB

[okon]

Witam,

Mam problem z takim równaniem:

\(\displaystyle{ \frac{d^2V_{r}}{dr^2}+ \frac{dV_{r}}{rdr}-m^2V_{r}=0}\)

Rozwiązujemy to z następującymi warunkami brzegowymi:
1) dla \(\displaystyle{ r=r_{1} \rightarrow V_r=V_0}\)
2) dla \(\displaystyle{ r=r_{2} \rightarrow \left( \frac{dV_r}{dr} \right)_{r=r_{2}}=0}\)


No i mam tylko rozwiązanie, bez kolejnych kroków...

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ V_{r}=C_{1}J_{0}(mr)+C_{2}K_{0}(mr)}\)

Na końcu mam zanotowane:
\(\displaystyle{ K_{0},K_{1},J_{0},J_{1}}\) - zmodyfikowane funkcje Bessela. I i II rzędu.

Proszę o jakieś wskazówki.

Pozdrawiam,

[luka52]

Powinno być \(\displaystyle{ V_{r}=C_{1} \red{I}_{0} \black (mr)+C_{2}K_{0}(mr)}\). Dalej uwzględniając warunki brzegowy otrzymamy układ równań na stałe \(\displaystyle{ C_1, C_2}\), z tym że nie rozumiem o co Ci chodzi w drugim warunku .

[okon]

Drugi warunek poprawiony.

A mógłbyś mi wytłumaczyć jak przekształcić to moje równanie, do tego z K i I ?

[luka52]

To są funkcje, które są tak zdefiniowane, że spełniają odpowiednie równanie różniczkowe - ogólniej takie ... ation.html

[okon]

A skąd to (mr) ?

[luka52]

W równaniu \(\displaystyle{ x^2 y'' + x y' - (x^2 + n^2) y = 0}\) przyjmujemy \(\displaystyle{ n=0}\) i wprowadzamy nową zmienną niezależną: \(\displaystyle{ x = mu}\), otrzymamy równanie \(\displaystyle{ u^2 y'' + u y' - m^2 u^2 y = 0}\).

[okon]

\(\displaystyle{ u^2 y'' + u y' - m^2 u^2 y = 0}\)

no jak?

a nie tak?
\(\displaystyle{ muy''+y'-y=0}\)

...

[luka52]

\(\displaystyle{ x \to m u}\) więc \(\displaystyle{ \frac{\mbox d y}{\mbox d x} = \frac{\mbox d y}{\mbox d u} \frac{\mbox d u}{\mbox d x} = \frac{y_u}{m}}\), itd.