charakterystyka funkcji wykładniczej

Hirakata · Post autor: **Hirakata** » 13 mar 2011, o 21:08

Jak udowodnić, że jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f'(x)}\), to funkcja f musi być postaci: \(\displaystyle{ f(x) = p \cdot e^{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 14 mar 2011, o 10:51

Hirakata pisze:Jak udowodnić, że jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f'(x)}\), to funkcja f musi być postaci: \(\displaystyle{ f(x) = p \cdot e^{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?

a gdyby wprowadzić funkcję \(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(x)}{e ^{x} }}\) i korzystając z założeń pokazać że pochodna tej pomocniczej funkcji się zeruje ?