znaleźć całkę ogólną

[padman]

Cześć mam taki przykład, proszę o pomoc w dokończeniu

\(\displaystyle{ xy' +y =y^{2}}\)
\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx}= y ^{2} -y / : dy}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{dx} - \int\frac{y ^{2} -y }{dy} = 0}\)

Przyznaję się bez bicia, że nie wiem jak zabrać się za całkę, gdy \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\) jest w mianowniku a nie tak jak w normalnym przypadku np \(\displaystyle{ \int x \mbox{d}x}\) czy \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{x}}\) gdy \(\displaystyle{ \mbox{d}x}\) jest w liczniku...

[ares41]

załóżmy, że \(\displaystyle{ a,b \neq 0}\).
mamy:
\(\displaystyle{ a=b \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b}}\)

[msx100]

trochę inaczej..
\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} = y^2-y / \cdot \frac{dx}{x} \neq 0, \ y^2-y \neq 0 \\
\frac{dy}{y^2-y} = \frac{dx}{x}}\)
może trochę lepiej

[padman]

jeśli mogę tak bezkarnie obrócić to będzie tak:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dy}{ y^{2}-1 } = \int 0}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x} - ( -\int \frac{dy}{y} + \int \frac{dy}{y-1}) = \int 0}\)

\(\displaystyle{ ln \left| x\right| + ln \left| y\right| - ln \left| y-1\right| = C}\)

\(\displaystyle{ \ln \left| \frac{xy}{y-1}\right| = C}\)

jest dobrze ?

[msx100]

pamiętaj, że akurat w tym przypadku szukasz funkcji \(\displaystyle{ y=y(x)}\). Wyznacz jej postać

[padman]

\(\displaystyle{ y= \frac{ e^{c} }{ e^{c} -x }}\)

[msx100]

sprawdz to jeszcze raz..