nieliniowe równanie różniczkowe 1 stopnia z haczykiem

nivwusquorum · Post autor: **nivwusquorum** » 2 lut 2011, o 20:15

No to jest równanko:
\(\displaystyle{ xy\frac{dy}{dx}+(x^2+y^2+x)=0}\)
Może ktoś chociaż podpowie co podstawić. Próbowałem już
\(\displaystyle{ u=y^2}\)
\(\displaystyle{ y=ux}\)

Z góry dzięki

msx100 · Post autor: **msx100** » 2 lut 2011, o 21:52

a dobrze przepisałeś? bo tak na pierwszy rzut oka to tam w nawiasie powinno być \(\displaystyle{ x^2+y^2+xy}\) i by się ładnie liczyło.. chyba, że to nic łatwego..

nivwusquorum · Post autor: **nivwusquorum** » 2 lut 2011, o 23:24

No raczej nic łatwego (z matmy na Cambridge), ale podobno z tych łatwejszych nietrywialnych.
(chociaż jak w wolframa wklepałem to znalazł jakieś tam rozwiązania, więc skoro nawet komputer może policzyć... )

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 3 lut 2011, o 01:03

Podziel stronami przez \(\displaystyle{ x^{2}}\), powinno zadziałać.

nivwusquorum · Post autor: **nivwusquorum** » 3 lut 2011, o 09:45

Już tam kombinowałem, wtedy masz czynnik 1/x z którym nie wiadomo co zrobić.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 3 lut 2011, o 10:10

Czy nie wiadomo, to kwestia rozwiązującego
A próbowałeś pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ dx}\) i rozwiązać to równanie jako równanie różniczkowe zupełne? Od razu podpowiem, że będzie tutaj potrzebny czynnik całkujący.

nivwusquorum · Post autor: **nivwusquorum** » 4 lut 2011, o 14:37

OK, udało się! W końcu.
Więc równanie o którym mowa to tzw. inhomogenous homogenous
Czyli że można rozciągać przestrzeń, ale nie jest przyrównywane do zera.
Więc robimy zwykłe podstawienie y=ux. A potem żeby wyeliminować kwadrat z = u^2/2, a potem używamy czynnika całkowego.

Żmudne, ale satysfakcjonujące

msx100 · Post autor: **msx100** » 4 lut 2011, o 16:18

jasne, że satysfakcjonujące. też starałem się to zrobić i dlatego czapka z głowy dla Ciebie

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 wrz 2011, o 04:29

Jakby się kto dobrze przyjrzał to dojrzałby równanie Bernoulliego
Czynnika całkującego można użyć ale nie jest to konieczne
Podstawienie \(\displaystyle{ u=y^2}\)
sprowadzi równanie do liniowego

\(\displaystyle{ xy\frac{dy}{dx}+(x^2+y^2+x)=0\\
2xyy^{\prime}+2y^2+2x^2+2x\\
2xyy^{\prime}+2y^2=-2x\left( x+1\right)\\
2yy^{\prime}+ \frac{2}{x}y^2=-2\left( x+1\right)\\
u=y^2\\
u^{\prime}+ \frac{2}{x}u=-2\left( x+1\right)\\
u^{\prime}+ \frac{2}{x}u=0\\
u^{\prime}=-\frac{2}{x}u\\
\frac{ \mbox{d}u }{u}=- \frac{2}{x} \mbox{d}x \\
\ln{\left| u\right| }=-2\ln{\left| x\right| }+C\\
u=Cx^{-2}\\
u\left( x\right)=C\left( x\right)x^{-2}\\
C^{\prime}\left( x\right)x^{-2}-2C\left( x\right)x^{-3}+2C\left( x\right)x^{-3}=-2\left( x+1\right)\\
C^{\prime}\left( x\right)x^{-2}=-2\left( x+1\right)\\
C^{\prime}\left( x\right)=-2\left( x^3+x^2\right) \\
C\left( x\right)=- \frac{1}{2}x^{4}- \frac{2}{3}x^{3}+C\\
u=-\frac{1}{2}x^2- \frac{2}{3}x+ \frac{C}{x^2}\\
y^2=-\frac{1}{2}x^2- \frac{2}{3}x+ \frac{C}{x^2}\\
y= \pm \sqrt{-\frac{1}{2}x^2- \frac{2}{3}x+ \frac{C}{x^2}}}\)